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Berücksichtigt man die Definition der
Schallgeschwindigkeit
aE
=
, so lässt sich
die für ein
dünnwandiges Rohr
gültige Gl. (2.89) durch Einführen einer resultierenden
Ausbreitungsgeschwindigkeit weiter umformen:
E
F
F
E
a
=
=
+⋅
(2.90)
F
E d
Es
F
F
1
R
∂
c
1
∂
p
Setzt man Gl. (2.90) in Gl. (2.89) ein, erhält man
=
∂
.
2
FF
∂
x
t
a
Für ein
dickwandiges Rohr
führen analoge Betrachtungen zu:
E
F
F
a
=
(2.91)
F
2
d
E
s
F
12
+
1
+
E
d
s
R
21
+
Die Schallgeschwindigkeit in Wasser beträgt z. B. 1 403 m/s bei 0 °C bzw. 1 483 m/s bei
20 °C. Sie ist somit mehr als viermal so groß wie die der Luft. In elastischen Rohren mit
der Wandstärke
s
ist sie nach Gl. (2.90) bzw. Gl. (2.91) etwas geringer.
Somit stehen die bei einer plötzlichen Druckänderung in einer Rohrleitung auftretenden
Ausbreitungsgeschwindigkeiten fest. Geht man davon aus, dass die Fluidgeschwindigkeit
klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit und die Dichteänderung gering ist, erhält man
für eine ebene Druckwelle die Gleichung:
2
2
∂
p
∂
p
2
F
=
a
(2.92)
2
2
∂
t
∂
x
Die Lösung der Gl. (2.92) für die durch einen Druckstoß entstehenden Wellen lautet
x
vorlaufend:
p
=
Ft
a
−
(2.93)
+
1
F
x
nachlaufend:
p
=
Ft
a
+
(2.94)
−
2
F
F
1
und
F
2
können beliebige Funktionen sein. Ihr Charakter hängt jedoch z. B. von der Schließ-
bzw. Öffnungsdynamik der Ventile ab.
Wendet man dies auf einen plötzlichen Drucksprung in einem Rohr zum Zeitpunkt
t
= 0 am
Ort
x
= 0 an, so bewegt sich dieser Drucksprung unverändert mit
a
F
in beide Richtungen
vom Ursprung fort. Somit befindet sich zum Zeitpunkt
t
der Drucksprung an den Stellen
x
= ±
a
F
t
. Treten Veränderungen in der Rohrleitung auf, reagiert die Druckwelle wie folgt:
