Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 286

im Abschn. 6.2.1.2 ) : Säkulare Abkühlung der Erde: 5 TW-
10 TW; latente Wärme beim Erstarren des festen inneren
Erdkerns: 2,73 TW; gravitative Kontraktion des Erdmantels:
3,6 TW; radioaktiver Zerfall von 40 K im Erdkern: <1 TW.
Abbildung 6.14 illustriert den Fall einer rein thermisch
angetriebenen Konvektion in einer rotierenden Kugelschale
zwischen zwei mitrotierenden begrenzenden Kugelflächen
von unterschiedlicher, aber konstanter Temperatur mit ei-
ner magnetohydrodynamischen Simulation (Kageyama et al.
2008 ) . Sie basiert auf einer um den Beitrag der zusätzlichen
Coriolis- und Lorentz-Volumenkräfte erweiterten, kompres-
siblen Navier-Stokes-Gleichung ( 7.22 ) (ähnlich ( 5.37 ) ), der
Induktionsgleichung, welche die Erzeugung elektrischer
Wirbelfelder aus den zeitlichen Variationen des Magnetfelds
beschreibt, sowie jeweils einer Gleichung für die Masse- und
Energieerhaltung. Nach Einsetzen der thermischen freien
Konvektion erzeugt der sogenannte magnteohydrodynami-
sche (MHD-)Prozess das Magnetfeld. Hierbei wird eine
maximale Rayleigh-Zahl von Ra D 1;5 10 10 erreicht, etwa
300-1000 Mal höher als der für das Einsetzen freier Kon-
vektion erforderliche kritische Wert. Sowohl die Prandtl-
als auch die magnetische Prandtl-Zahl (siehe Tab. 5.7 )
sind von der Größenordnung eins, und die Ekman-Zahl ist
Ek D 2;3 10 7 . Wiewohl dies der bis dahin gerings-
te in einer Simulation realisierte Wert ist, liegt er immer
noch deutlich über dem für den Kern als plausibel geltenden,
verschwindend kleinen Wert von Ek D 10 15 . Die in den
Simulationen typischen Werte der magnetischen Reynolds-
Zahl und Elsasser-Zahl (siehe Tab. 5.7 ) lagen bei Re m D 700
und ƒ D 1 10 .InderAbb. 6.14 wird das Ergebnis zweier
Simulationen für Ek D 2;3 10 7 und Ek D 2;6 10 6
verglichen. In beiden zeigen sich die durch den thermischen
Auftrieb erzeugten Konvektionssysteme, die wie die Taylor-
Säulen parallel zur Rotationsachse orientiert sind. Sie sind
jedoch im Unterschied zur Taylor-Proudman-Konvektion
nicht zylindrisch, sondern flächig ausgebildet, wobei die Di-
cke der Flächen mit steigender Ekman-Zahl zunimmt. Diese
numerisch äußerst anspruchsvollen Geodynamo-Simulatio-
nen erfolgten auf dem zwischen Juni 2002 und Juni 2004
mit einer Rechenleistung von 35,86 TFLOPS 72 weltweit
schnellsten Super-Rechner Earth Simulator . Dennoch er-
scheint, ungeachtet der beachtlichen erreichten Fortschritte,
eine umfassende Berücksichtigung aller Kräfte bei rea-
listischen Größenordnungen der relevanten Materialeigen-
schaften, ausgedrückt insbesondere durch die Ekman-Zahl,
zumindest heute und in der absehbaren Zukunft noch jenseits
der Möglichkeiten der numerischen Simulation zu sein 73 .

Abb.6.13 Kritische Rayleigh-Zahl Ra krit als Funktion der horizontalen
Wellenzahl k x und der Schichtmächtigkeit `

ohne freie Konvektion, in dem die Reibungskraft die ther-
mische Auftriebskraft dominiert, und dem überkritischen
Bereich mit freier Konvektion. Eine rein thermisch angetrie-
bene Strömung wird durch die Rayleigh-Zahl charakterisiert,
das Produkt aus Prandtl- und Grashof-Zahl Pr und Gr:

Ra D Pr Gr

Impulsdiffusivität
thermische Diffusivität

thermische Antriebskraft
Reibungskraft

D :

Eine rein stofflich angetriebene Strömung wird dagegen
durch die stoffliche Rayleigh-Zahl Ra s charakterisiert, dem
Produkt aus stofflicher Prandtl- und Grashof-Zahl Pr s und
Gr s :

Ra s D PR s Gr s

Impulsdiffusivität
molekulare Diffusivität

stoffliche Antriebskraft
Reibungskraft

D :

Beide dimensionslosen Kennzahlen treten jeweils bei der
Entdimensionalisierung der entsprechenden Navier-Sto-
kes-Gleichungen auf. Bei einer sowohl thermisch als
auch stofflich angetriebenen Strömung treten an die Stel-
le der Rayleigh-Zahlen die jeweiligen Grashof-Zahlen
Gr D

thermische Antriebskraft
Reibungskraft

stoffliche Antriebskraft

Reibungskraft .Diese
charakterisieren nur die Verhältnisse der jeweils antreiben-
den und verzögernden Kräfte und sind im Vergleich zu
den Rayleigh-Zahlen um den Einfluss der Verhältnisse der
Impulsdiffusivität zur thermischen bzw. molekularen Diffu-
sivität bereinigt (vgl. z. B. Breuer et al. 2010 ) .
Für die unterschiedlichen Antriebsmechanismen freier
Konvektion im äußeren Erdkern werden die folgenden ther-
mischen Leistungen als plausibel erachtet (siehe Diskussion

und Gr s D

72 Tera-FLOPS:

10 12 F loating P oint O perations P er S econd ; englisch
für eine Billion Gleitkommaoperationen pro Sekunde, ein Maß für die
Leistung von Hochleistungsrechnern.
73 Diese Aussage muss jedoch mit Blick auf die äußerst dynamische
Entwicklung der Super-Rechner etwas relativiert werden: Nur neun