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Solche Strömungen, die bei geradlinigen Isobaren parallel
zu diesen strömen, werden als geostrophisch
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bezeichnet.
Eine wichtige Folgerung der Tatsache, dass die Strömungen
im flüssigen Erdkern geostrophisch sind, kommt in dem Satz
von Taylor und Proudman (
Taylor-Proudman theorem
)zum
Ausdruck. Dieser besagt, dass eine stationäre, langsame und
reibungsfreie Strömung in einem schnell rotierenden, baro-
tropen
71
und inkompressiblen Fluid zweidimensional ist und
konstant entlang von Linien parallel zur Drehachse verläuft.
Im Ergebnis bilden solche Strömungen sogenannte Taylor-
Säulen aus, parallel zur Erdumdrehungsachse. Man erkennt
verschwindet die linke Seite, weil die Rotation eines Gradi-
enten immer null ergibt. Daraus folgt
0 Dr.
v
/
und
hieraus:
0 D .r
v
/
v
.r/ C .
v
r/ . r/
v
(weil
für zwei Vektorfelder
a
und
b
immer gilt:
r.
a
b
/ D
a
.r
b
/
b
.r
a
/ C .
b
r/
a
.
a
r/
b
). Der erste Term der
rechten Seite wird zu null, da die Strömung inkompressibel
und daher divergenzfrei ist. Der zweite und dritte Term ver-
schwinden, da die Erdumdrehungsrate ortsunabhängig ist.
Damit bleibt:
. r/
v
D 0
. Weist nun der Vektor der Erd-
umdrehungsrate in Z-Richtung, so gilt mit
D .0;0;/
und die Auftriebskraft. Diese wiederum wird durch Dichte-
differenzen angetrieben, die sowohl thermisch als auch durch
unterschiedliche stoffliche Zusammensetzung bedingt sein
können (
compositional convection
).
Schätzwerte der für das Einsetzen freier Konvektion im
äußeren Erdkern erforderlichen Größenordnungen liefert die
Betrachtung dimensionsloser Kennzahlen. Die thermische
Rayleigh-Zahl Ra beschreibt den Grenzfall der rein ther-
misch angetriebenen freien Konvektion in einer von zwei
Flächen konstanter, um
T verschiedener Temperatur be-
grenzten Fluidschicht:
g
'
T
`
3
›
Ra
D
D
Pr Gr
I
g
'
T
`
3
2
›
mit: Pr
D
und Gr
D
:
(6.105)
Hierbei sind g die Schwerebeschleunigung,
die kinema-
tische Zähigkeit,
›
die thermische Diffusivität,
'
der ther-
mische Ausdehnungskoeffizient,
`
die Schichtmächtigkeit
und Gr sowie Pr die Grashof- bzw. Prandtl-Zahl (siehe Kas-
vektion antreibt, dagegen auf unterschiedlicher stofflicher
Zusammensetzung, so lautet die entsprechende stoffliche
Rayleigh-Zahl Ra
s
:
T
:
@
v
@
x
C
@
v
@
y
C
@
v
@
z
D 0;
. r/
v
D
x
y
„ƒ‚…
D
0
z
„ƒ‚…
D
0
„ƒ‚…
¤
0
g
“
C
`
3
also:
@
v
Ra
s
D
D
Pr
s
Gr
s
I
@
z
D 0:
(6.104)
D
m
`
3
D
m
und Gr
s
D
g
“
C
Dies bedeutet, dass alle Komponenten des Geschwindig-
keitsfelds parallel zur Erdumdrehungsachse konstant sind
und das Strömungsfeld somit zweidimensional in Ebenen
senkrecht zur Umdrehungsachse verläuft. Die sich daraus
ergebenden Taylor-Säulen werden daher auch für die Strö-
mung im äußeren Erdkern erwartet und wurden auch expe-
rimentell in Laborversuchen bestätigt (siehe Abschn.
5.2.1
Allerdings sind die Verhältnisse wohl komplexer, insbe-
sondere in Hinsicht auf die Kräfte, welche eine freie Konvek-
tion im äußeren Kern antreiben oder behindern. Wie schon
im Abschn.
5.2.1
beschrieben, wirken als Volumenkräfte ne-
ben der Schwer- und Coriolis-Kraft auch die Lorentz-Kraft
mit: Pr
s
D
;
(6.106)
2
wobei
C die Konzentrationsdifferenz in einem Zweistoff-
Gemisch ist,
“ D .1=
V
/.@
V
=@
C
/
der dem thermischen
Ausdehnungskoeffizienten analoge stoffliche Ausdehnungs-
koeffizient, D
m
der molekulare Diffusionskoeffizient des
einen Stoffs im anderen und Gr
s
sowie Pr
s
die stoffliche
Grashof- bzw. Prandtl-Zahl.
Eine Analyse mit Hilfe der linearen Störungstheorie (sie-
he Abschn.
7.11.3
im Anhang) ergibt einen von der Mächtig-
keit
und horizontalen Wellenzahl k
x
der Konvektionszelle
abhängigen Ausdruck der für das Einsetzen freier Konvekti-
on kritischen Rayleigh-Zahl. Bei unterkritischen Werten der
Rayleigh-Zahl ist molekulare Diffusion der dominierende
Transportprozess, bei überkritischen Werten dominiert Ad-
vektion. Die minimale kritische Rayleigh-Zahl ergibt sich
für alle horizontalen Wellenzahlen k
x
und vertikalen Mäch-
tigkeiten
`
, wenn das Produkt
.
k
x
`/
2
gleich
2
=2
ist (siehe
Abschn.
7.11.3
im Anhang):
`
70
Auch die Luftströmungen in der hohen Atmosphäre sind in guter Nä-
herung geostrophisch, besonders stark ausgeprägt in den Strahlstrom-
Systemen (
jet stream
s) zwischen oberer Troposphäre und Stratosphäre
Kraft und der Druckgradientenkraft, dem Antrieb der Strömung von
den Hochdruckgebieten in die Tiefdruckgebiete. In den unteren 1,5 km-
2 km der Erdatmosphäre wird der Wind allerdings durch die Boden-
reibung gebremst und weht dann nicht mehr parallel zu den Isobaren,
sondern in Richtung des tiefen Luftdrucks. Hierdurch steigt dieser in-
nerhalb einiger Tage wieder an.
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Als barotrop werden Schichtungen in einem Fluid bezeichnet, in wel-
chem Flächen gleichen Drucks (Isobaren) parallel zu Flächen gleicher
Temperatur (Isothermen) beziehungsweise gleicher Dichte (Isopyknen)
verlaufen (Gegensatz isoklin: gegen sie geneigt verlaufend).
Ra
min
krit
D 27
4
=4 657; 51 :
(6.107)
Die Abb.
6.13
zeigt ihre Variation in Abhängigkeit des
Produktes k
x
`
. Die minimale kritische Rayleigh-Zahl mar-
kiert den Übergang zwischen dem unterkritischen Bereich
