Programmiermodell - Moderne Prozessorarchitekturen: Prinzipien und ihre Realisierungen - page 5

der verschoben sind, weshalb Zahlenbereichsüberschreitungen von der verwendeten
Zahlendarstellung abhängig auftreten können. Viele Prozessoren verfügen daher
neben dem im vorangehenden Abschnitt bereits erwähnten Übertragsbit über ein
zweites sog. Überlaufbit ( overflow-flag ). Es wird gesetzt, wenn bei einer Addition
oder Subtraktion ein Ergebnis erzeugt werden müsste, das bei einer Interpretation
als Zweierkomplementzahl nicht im erlaubten Wertebereich liegt.

Beispiel 1.1. Addition vorzeichenbehafteter und vorzeichenloser Dualzahlen . In Bild 1.3 ist dar-
gestellt, wie vier Bit breite binärcodierte Zahlen (gekennzeichnet durch die nachgestellte 2) addiert
werden können. Die Interpretation der Operanden und Ergebnisse ist jeweils rechts neben den
binärcodierten Bitmustern angegeben, und zwar einmal in vorzeichenloser Dualzahlendarstellung
(übertitelt mit Y D ) und einmal in Zweierkomplementdarstellung (übertitelt mit Y Z ). Die erste Addi-
tion in Bild 1.3a erzeugt eine gültiges Ergebnis im Wertebereich sowohl der vorzeichenlosen Dual-
zahlen als auch der Zweierkomplementzahlen. Die zweite Addition in Bild 1.3b generiert einen
Übertrag, wenn die binärcodierten Werte als vorzeichenlose Dualzahl interpretiert werden und
erzeugt ein korrektes Ergebnis, wenn die Werte als Zweierkomplementzahlen interpretiert werden.
Mit der dritten Addition in Bild 1.3c drehen sich die Verhältnisse um: Bei einer Interpretation als
Zweierkomplementzahl wird hier ein falsches Ergebnis erzeugt (bekanntlich ist die Summe 7 + 2
nicht gleich -7).

Y D Y Z Y D Y Z Y D Y Z

1000 2
+0 11 2
1111 2

=8
=7
=15

=-8
=7
=-1

1111 2 =15

=1
=0

=-1
=1
=0

0111 2 =7

=2
=9

=7
=2
=-7

+ 0001 2

0000 2

+ 0010 2

1001 2

Übertrag (carry) Überlauf (overflow)

a b c

Bild 1.3. Addition von 4-Bit-Zahlen und deren Interpretation als vorzeichenlose Dualzahlen Y D
bzw. Zweierkomplementzahlen Y Z . a Kein Übertrag oder Überlauf. b Übertrag bei Addition vorzei-
chenloser Zahlen. c Überlauf bei Addition vorzeichenbehafteter Zahlen

1.1.4 Binärcodierte Festkommazahlen

In einigen Anwendungen muss mit Zahlen gerechnet werden, die nicht ganzzahlig
sind und sich daher auch nicht ohne weiteres durch vorzeichenlose Dualzahlen oder
Zweierkomplementzahlen darstellen lassen. Es ist aber möglich, gebrochene Zahlen
zu codieren, indem man ganze vorzeichenbehaftete oder vorzeichenlose Zahlen mit
einem fest vereinbarten Skalierungsfaktor kleiner Eins multipliziert. In Verallgemei-
nerung dieses Ansatzes lassen sich natürlich auch Skalierungsfaktoren größer Eins
verwenden, um so das Arbeiten mit Zahlen zu ermöglichen, die ansonsten nicht im
Wertebereich einer vorzeichenlosen oder -behafteten ganzen Zahl codierbar wären.

Die sog. binärcodierten Festkommazahlen verwenden als Skalierungsfaktoren,
ganzzahlige Potenzen von Zwei, da sich die normalerweise aufwendig zu imple-
mentierende Multiplikation auf diese Weise durch eine einfache Schiebeoperation
ersetzen lässt. Nach der Skalierung wird die (nun ganze) Zahl entweder als vorzei-
chenlose Dualzahl oder als Zweierkomplementzahl codiert. Die allgemeinen For-
meln zur Berechnung der Werte binärcodierter Festkommazahlen sind in Bild 1.4