Database Reference
In-Depth Information
Eine wichtige und oft benutzte Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsfunktionen
ist die, dass jede Wahrscheinlichkeitsfunktion eindeutig bestimmt ist durch ihre
Werte auf den Elementarereignissen ω
∈
Ω. Alle diese Elementarereignisse sind
ω
}
= ω
. Also folgt mit der obigen
paarweise disjunkt, d.h. es ist
{
ω
}∩{
=
∅
fur ω
Eigenschaft (P2) fur jede Teilmenge M von Ω:
P (M )=
ω∈M
P (ω)
(A.1)
wobei der Einfachheit halber P (ω):=P (
Ω gesetzt wird.
In der Wissensreprasentation betrachtet man allerdings im Allgemeinen kei-
ne Mengen, sondern Aussagen, Eigenschaften, Merkmale, Pradikate o. A. Mit Hilfe
des Wahrscheinlichkeitsbegriffes werden wir im Folgenden eine
probabilistische Logik
definieren, bei der nicht Mengen, sondern aussagenlogischen Formeln Wahrschein-
lichkeiten zugewiesen werden.
Wir betrachten eine aussagenlogische Sprache
{
ω
}
)fur ω
∈
L uber einer Signatur Σ =
{
. Jeder Name N
i
von Σ reprasentiert eine Aussage, die wahr oder
falsch sein kann. Es bezeichne
Form
die Menge aller aussagenlogischen Formeln von
L
N
1
,N
2
,N
3
,...
}
. Jede Formel stellt wieder eine Aussage dar, namlich entweder eine
atomare For-
mel
(also eine Aussage aus Σ) oder eine zusammengesetzte Formel; ein
Literal
ist
eine atomare Formel entweder in positiver oder in negierter Form (vgl. Definition
3.23). Mit
werde eine beliebige tautologische Formel bezeichnet (z.B. A
∨¬
A)
und mit
A).
Vollkonjunktionen
sind Konjunktionen, die jeden Buchstaben des Alphabets
⊥
eine beliebige widerspruchliche Formel (z.B. A
∧¬
von
in positiver oder negierter Form enthalten. Sie dienen der vollstandigen Klas-
sifizierung von Objekten, stellen also Elementarereignisse im wahrscheinlichkeits-
theoretischen Sinne dar.
Im Folgenden werde mit Ω immer die Menge aller Vollkonjunktionen einer
logischen Sprache
L
bezeichnet. Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P uber Ω nennen
wir auch
Wahrscheinlichkeitsfunktion uber
L
L
.
Beispiel A.3 (Vollkonjunktionen 1)
Die Signatur einer Sprache bestehe aus
den Buchstaben
{
R, W, G
}
, die beispielsweise die folgenden Bedeutungen haben
konnen:
R
:
rund
W
:
weiß
G
:
groß
und damit zur Klassifikation von Gegenstanden benutzt werden konnen. Es gibt
hier 2
3
= 8 Vollkonjunktionen:
R
∧
W
∧
G
¬
R
∧
W
∧
G
R
∧
W
∧¬
G
¬
R
∧
W
∧¬
G
R
∧¬
W
∧
G
¬
R
∧¬
W
∧
G
R
∧¬
W
∧¬
G
¬
R
∧¬
W
∧¬
G
Umfasst das Vokabular der Sprache n (zweiwertige) Aussagen, so gibt es 2
n
Vollkonjunktionen.
