Database Reference
In-Depth Information
Die kanonische disjunktive Normalform einer Formel A besteht aus genau den-
jenigen Vollkonjunktionen ω, die Implikanten von A sind, d.h. fur die die Formel
ω
⇒
A allgemeingultig ist; man schreibt dafur auch A(ω)=1:
A
≡
ω
(A.2)
ω:A(ω)=1
Die Schreibweise
A(ω)=1 fur |= ω ⇒ A
entstammt dem Ansatz, Formeln als sog. logische Funktionen und Vollkonjunktio-
nen als Tupel atomarer Wahrheitswerte zu betrachten.
Beispiel A.4 (Vollkonjunktionen 2)
Wir setzen das Beispiel A.3 fort. Die For-
mel R hat hier die kanonische disjunktive Normalform
R
≡
(R
∧
W
∧
G)
∨
(R
∧
W
∧¬
G)
∨
(R
∧¬
W
∧
G)
∨
(R
∧¬
W
∧¬
G)
Eine Formel A reprasentiert also eine Menge von Vollkonjunktionen
Ω
A
:=
{
ω
∈
Ω
|
A(ω)=1
}
(A.3)
und damit ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Ereignis, und wir setzen
P (A):=P (Ω
A
)
Die Mengenoperationen Vereinigung und Schnitt entsprechen nun den logischen
Operationen Disjunktion und Konjunktion, und aus der Komplementbildung wird
die Negation:
A
∨
B
entspricht
Ω
A
∪
Ω
B
A
∧
B
entspricht
Ω
A
∩
Ω
B
Ω
A
Aus der obigen Formel (A.2) erhalten wir also das aussagenlogische Gegenstuck zu
Gleichung (A.1):
¬
A
entspricht
Ω
−
P (A)=
ω:A(ω)=1
P (ω)
(A.4)
Ausgehend von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P auf Ω kann auf diese Weise
jeder Formel A
Form
eine Wahrscheinlichkeit P (A) zugeordnet werden. P (A)
symbolisiert den Grad der Gewissheit, mit der A - in einer realen oder fiktiven
Population - wahr ist.
Die Wahrscheinlichkeit einer Formel wird folglich eindeutig bestimmt durch die
Wahrscheinlichkeit ihrer zugehorigen Vollkonjunktionen. Manchmal werden Wahr-
scheinlichkeitsfunktionen daher auch in der Form
∈
{
P (ω)
|
ω
∈
Ω
}
(A.5)
[0, 1] und
ω∈Ω
P (ω) = 1 ist. Umgekehrt definiert
jede solche Zuweisung mittels der Gleichung (A.4) eine Wahrscheinlichkeitsfunkti-
on. Da in (A.5) angegeben wird, wie sich die Wahrscheinlichkeitsmasse von 1 auf
die Vollkonjunktionen verteilt, spricht man auch von einer
Wahrscheinlichkeits-
verteilung
(
probability distribution
).
angegeben, wobei jedes P (ω)
∈
