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A
P
[
V
−
(
B
∪{
A
}
)]
|
B
(13.9)
Ein
Markov-Rand (Markov boundary) br
(A)
von
A ist eine minimale Markov-Decke
von A, d. h., keine echte Teilmenge von
br
(A)erfullt (13.9).
) gilt, ist die Existenz von Markov-Decken
und damit auch von Markov-Randern gesichert. Markov-Rander stellen die klein-
sten Variablenmengen dar, die A gegen alle (restlichen) Variablen abschirmen. Fur
strikt positive Verteilungen besitzen Markov-Rander eine anschauliche graphische
Interpretation:
Da trivialerweise A
∅|
(
V
−{
A
}
P
Theorem 13.10 ([176])
Ist
P
eine strikt positive Wahrscheinlichkeitsverteilung,
so besitzt jedes Element
A
V
einen eindeutig bestimmten Markov-Rand br
(A)
,
der gerade aus den Nachbarknoten nb
(A)
von
A
im Markov-Graphen
∈
G
0
besteht; es
gilt also
A
P
[
V
−
(
nb
(A)
∪{
A
}
)]
|
nb
(A)
(13.10)
(13.10) wird die
lokale Markov-Eigenschaft
genannt.
Im Allgemeinen sind die drei Markov-Eigenschaften (13.7) (global), (13.8)
(paarweise) und (13.10) (lokal) unterschiedlich, wobei allerdings die Implikations-
kette
global Markov
⇒
lokal Markov
⇒
paarweise Markov
(13.11)
Aquivalenz:
besteht. In vielen Fallen jedoch besteht sogar
Theorem 13.11 ([176])
Erfullt eine Verteilung
P
die Schnitteigenschaft (13.5),
so sind alle drei Markov-Eigenschaften (13.7), (13.8) und (13.10) aquivalent.
Insbesondere gilt dies also fur alle strikt positiven Verteilungen.
Selbsttestaufgabe 13.12 (Markov-Eigenschaften)
Beweisen Sie die Implika-
tionskette (13.11).
Mit Hilfe der Markov-Eigenschaften lasst sich also gut nachprufen, ob ein be-
stimmter Graph ein Markov- bzw. ein Unabhangigkeitsgraph fur eine gegebene Ver-
teilung ist.
Selbsttestaufgabe 13.13 (Markov-Graph)
1. Es sei P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung uber den binaren Variablen X, Y, Z.
Zeigen Sie: X und Y sind genau dann bedingt unabhangig bei gegebenem Z in
P , X
P
Y
|
Z, wenn gilt:
P (xy
|
z)=P (x
|
z)P (y
|
z)
und
P (xy
|
z)=P (x
|
z)P (y
|
z)
2. Es sei P die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung uber den Variablen A, B, C:
