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Stat
compl
Argumente
A
{
in
,
out
,
undec
}
B
{
in
,
out
,
undec
}
C
{
in
,
out
,
undec
}
D
{
in
}
E
{
out
}
F
{
in
,
out
,
undec
}
G
{
in
,
out
,
undec
}
H
{
in
,
out
,
undec
}
Fur jedes Argument A ist
Stat
compl
(A)
, aber nicht jede Teil-
menge ist tatsachlich auch als Statusmenge eines Argumentes moglich. Beispielswei-
se ist
⊆{
in
,
out
,
undec
}
nicht moglich, da vollstandige Labelingfunktionen immer existieren und ein
Argument mindestens ein Label haben muss. Aber auch andere Teilmengen erwei-
sen sich als unmoglich. So zeigt die nachste Proposition, dass kein Argument unter
Vollstandigkeit den Status
∅
{
in
,
out
}
haben kann.
Proposition 10.101
Sei
AF
=(
A
,
→
)
ein abstraktes Argumentationssystem und
sei
A
gibt mit
1
(A)=
in und
2
(A)=
out, dann gibt es auch eine vollstandige Labelingfunktion
3
mit
3
(A)=
undec.
∈A
.Wennesvollstandige Labelingfunktionen
1
und
2
fur
AF
Beweis:
Seien
1
,
2
vollstandige Labelingfunktionen mit
1
(A)=
in
und
2
(A)=
out
. Seien
E
2
=
in
(
2
);
beide sind nach Proposition 10.94 vollstandige Extensionen. Wegen
2
(A)=
out
ist
A nicht in E
2
und daher auch nicht in der grundierten Extension E
g
von AF. A kann
auch nicht in
E
1
und
E
2
die zugehorigen
in
-Mengen, d.h.
E
1
=
in
(
1
) und
E
g
+
sein, denn fur jeden Angreifer B von A muss wegen
1
(A)=
in
ja
1
(B)=
out
gelten, und damit kann B nicht in
E
g
sein. Sei
3
=Λ
AF
(
E
g
)diezur
∈E
g
+
gilt
grundierten Extension gehorige Labelingfunktion. Wegen A
∈E
g
und A
nach (10.2)
3
(A)=
undec
.
Fur den Beweis der vorigen Proposition war die Labelingfunktion der grundier-
ten Extension wichtig. Mit deren Hilfe lassen sich nun auch die beiden Statusmengen
{
in
}
und
{
out
}
leicht charakterisieren:
Proposition 10.102 (Status unter Vollstandigkeit)
Sei
AF
=(
A
,
→
)
ein ab-
. Dann ist Stat
compl
(A)=
straktes Argumentationssystem und sei
A
∈A
{
in
}
genau
liegt, und es ist Stat
compl
(A)=
dann, wenn
A
in der grundierten Extension von
AF
{
out
}
genau dann, wenn
A
von der grundierten Extension von
AF
angegriffen wird.
Selbsttestaufgabe 10.103 (Status unter Vollstandigkeit)
Beweisen Sie Pro-
position 10.102.
In [247] werden auch die anderen moglichen Falle fur die vollstandige Semantik
charakterisiert.
