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Aus der Definition einer grundierten Labelingfunktion ergibt sich damit so-
fort, dass diese eindeutig ist. Tatsachlich entsprechen die Labeling-Eigenschaften
aus Definition 10.96 wieder den Eigenschaften der durch die
in
-Mengen definierten
Extensionen, wie die folgende Proposition zeigt.
Proposition 10.97
Sei
AF
=(
A
,
→
)
ein abstraktes Argumentationssystem, sei
eine vollstandige Labelingfunktion fur
.
Ist
eine grundierte/bevorzugte/stabile Labelingfunktion fur
AF
AF
,soist
E
=
in
()
eine grundierte/bevorzugte/stabile Extension von
AF
. Ist umgekehrt
E⊆A
eine grundierte/bevorzugte/stabile Extension von
,sowirddurch
E
wie in (10.1)
eine grundierte/bevorzugte/stabile Labelingfunktion definiert.
AF
Beweis:
Fur grundierte und bevorzugte Extensionen bzw. Labelingfunktionen ist
dies eine einfache Konsequenz aus Proposition 10.95 (3), da sich vollstandige Exten-
sionen und vollstandige Labelingfunktionen eineindeutig entsprechen und grundier-
te bzw. bevorzugte Extensionen nach Theorem 10.75 und Selbsttestaufgabe 10.77
minimal bzw. maximal unter den vollstandigen Extensionen sind.
Wir mussen nun noch die Behauptung fur stabile Extensionen bzw. Labeling-
funktionen zeigen. Sei
E
eine stabile Extension, d.h.
E
+
=
A\E
,dannist
E
nach
Theorem 10.75 insbesondere vollstandig, also ist auch
E
vollstandig. Nach (10.1)
)
+
=
ist dann
undec
(
E
)=
,alsoist
E
eine stabile Labelingfunktion. Ist
umgekehrt eine stabile Labelingfunktion, so ist E
=
in
() eine vollstandige und
damit konfliktfreie Extension, fur die wegen
undec
()=∅ die Gleichung E
+
= A\E
gilt, also ist
A\
(
E∪E
∅
E
auch stabil.
Beispiel 10.98 (grundierte, bevorzugte, stabile Labelingfunktionen)
Wir
greifen Beispiel 10.93 wieder auf. In der dortigen Tabelle finden wir vier stabile
und bevorzugte Extensionen, namlich
1
,
2
,
4
und
5
, die den stabilen und be-
vorzugten Extensionen
}
entsprechen. Weiterhin ist
9
die grundierte Labelingfunktion, zu der die Extension
{
{
B, D, G
}
,
{
B, D, H
}
,
{
A, C, D, F, G
}
und
{
A, C, D, F, H
D
}
gehort (vgl. auch Beispiel 10.72).
Mit Hilfe der Labelingfunktionen kann man den moglichen Status eines Argu-
mentes in einem abstrakten Argumentationssystem innerhalb einer Semantik ange-
ben, indem man einfach die moglichen Labels des Argumentes auflistet [247]. Wir
schauen uns hier die vollstandige Semantik an, aber es ist klar, dass dies fur andere
Labeling-basierte Semantiken auch moglich ist.
Definition 10.99 (Status unter Vollstandigkeit)
Sei
)einab-
straktes Argumentationssystem. Der
Status eines Argumentes
A
unter Vollstandig-
keit
ist definiert als:
Stat
compl
(A)=
AF
=(
A
,
→
{
(A)
|
ist eine vollstandige Labelingfunktion fur
AF}
Beispiel 10.100 (Status unter Vollstandigkeit)
Aus der Tabelle in Beispiel
10.93 erhalten wir die folgenden Angaben zum Status unter Vollstandigkeit der
Argumente in Abbildung 10.8:
