Cryptography Reference
In-Depth Information
• Wir setzen für die
a
,
b
∈
F
im letzten Punkt:
Y
2
Z
X
3
aXZ
2
bZ
3
(
)
=
−
−
−
∈
F
[
]
F
X
,
Y
,
Z
:
X
,
Y
,
Z
und
y
2
x
3
(
)
=
−
−
−
∈
F
[
]
f
x
,
y
:
ax
b
x
,
y
.
Nachdemwir die Menge
E
einer elliptischen Kurve als Nullstellenmenge des Po-
lynoms
F
(
)
definiert haben, wollen wir uns nun daran machen, auf dieser
Menge eine Verknüpfung zu erklären, d. h. wir erklären eine Abbildung
X
,
Y
,
Z
:
E
×
E
→
E
∗
.
(
)
→
∗
P
,
Q
P
Q
Zwei Punkten einer elliptischen Kurve wird wieder ein Punkt dieser elliptischen
Kurve zugeordnet. Dazu führen wir
Tangenten
ein.
13.3.1 Projektive Beschreibung der Tangente
Wir beginnen mit der Definition von
Tangenten
.Essei
P
ein Punkt der elliptischen
Kurve
E
:
y
2
x
3
=
+
+
ax
b
.
Wir setzen:
0
.
∂
F
+
∂
F
+
∂
F
T
P
:
=
(
u
:
v
:
w
)
∈P
;
X
(
P
)
u
Y
(
P
)
v
Z
(
P
)
w
=
∂
∂
∂
Die Menge
T
P
heißt die
Tangente
an
E
im Punkt
P
. Man beachte, dass
T
P
als
Nullstellenmenge in
P
eines homogenen Polynoms vom Grad 1 wohldefiniert ist
(vgl. die Wohldefiniertheit von
E
auf Seite 225).
Wir zeigen nun, dass
T
P
eine Gerade ist, die durch den Punkt
P
der elliptischen
Kurve geht, wie man es von einer Tangenten ja auch erwartet. Wie immer be-
zeichne
U
=
{
(
u
:
v
:
w
)
∈P
;
w
=
0
}
die unendlich ferne Gerade.
Lemma 13.5
Es gilt T
P
∈G
, und P
∈
T
P
. Speziell T
O
=
U.
Beweis.
Wir bestimmen die partiellen Ableitungen von
F
:
∂
F
∂
F
∂
F
3
X
2
aZ
2
,
Y
2
3
bZ
2
.
X
=
−
−
Y
=
Z
=
−
−
2
YZ
,
2
aZX
∂
∂
∂
∂
X
(
O
)=
∂
F
F
0 und
∂
F
∂
1. Fall: P
=
O
=(
0:1:0
)
. Dann gilt
Y
(
O
)=
Z
(
O
)=
1, d. h.
∂
∂
T
O
=
{
(
u
:
v
:
w
)
;0
·
u
+
0
·
v
+
1
·
w
=
0
}
=
{
(
u
:
v
:
w
)
∈P
;
w
=
0
}
=
U
,
die unendlich ferne Gerade, und es gilt
O∈
U
.
