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2. Fall: P
=
O
. Wegen
P
∈
U
können wir ohne Einschränkung
P
=(
α
:
β
:1
)
voraussetzen und erhalten
0
.
2
2
T
P
=
(
u
:
v
:
w
)
∈P
;
(
−
3
α
−
a
)
u
+
2
β
v
+(
β
−
2
a
α
−
3
b
)
w
=
2
β
=
+
=
Wir zeigen, dass im Fall
0 gilt 3
α
a
0. Dann ist in jedem Fall mindestens
ein Koeffizient der Gleichung
2
2
(
−
−
)
+
+(
β
−
α −
)
=
3
α
a
u
2
β
v
2
a
3
b
w
0
nicht Null, und der Lösungsraum dieser Gleichung ist ein zweidimensionaler
Untervektorraum von
3
. Hieraus folgt, dass
T
P
eine Gerade der projektiven Ebe-
F
(
F
)
ne PG
ist.
Wir nehmen also
2,
Nullstelle des Polynom
x
3
β
=
0 an. Dann ist
α
+
ax
+
b
, weil
(
α
)
auf
E
liegt. Dieses Polynom hat nach Voraussetzung keine mehrfachen
Nullstellen. Deshalb (vgl. Aufgabe 3.7) ist
:0:1
nicht Nullstelle der Ableitung 3
x
2
α
+
a
2
+
=
dieses Polynoms, also 3
0.
Nun begründen wir, dass der
affine
Punkt
P
auf der Geraden
T
P
liegt. Dazu setzen
wir die Koordinaten des Punktes
P
in die
Geradengleichung
für
T
P
ein:
α
a
2
2
3
2
(
−
−
)
α
+
ββ
+(
β
−
α −
)=
−
−
α
+
−
3
α
a
2
2
a
3
b
3
α
3
a
3
β
3
b
2
3
=
(
β
−
(
α
+
α
+
)
)=
3
a
b
0.
=
f
(
α
,
β
)=
0
∈
Folglich gilt
P
T
P
.
Beispiel
Es sei
und
E
:
y
2
x
3
F
=
R
=
−
x
=
x
(
x
−
1
)(
x
+
1
)
. Wir bestimmen die
Y
2
Z
X
3
XZ
2
.
=(
)
(
)=
−
+
Tangente im Punkt
P
0:0:1
.Esist
F
X
,
Y
,
Z
Daraus folgt
∂
F
∂
F
∂
F
3
X
2
Z
2
,
Y
2
X
=
−
+
Y
=
2
YZ
,
Z
=
+
2
XZ
,
∂
∂
∂
also
∂
F
∂
F
∂
F
X
(
P
)=
1,
Y
(
P
)=
0,
Z
(
P
)=
0.
∂
∂
∂
Damit ist die Tangente
T
)
=
{
(
u
:
v
:
w
)
;
u
=
0
}
.
(
0:0:1
Affin gedeutet ist
P
der Nullpunkt und
T
P
die
y
-Achse. Die Tangente entspricht
genau dem, was man anschaulich als Tangente an die Kurve bezeichnen würde.
Das wird auch an der linken Grafik auf Seite 226 deutlich.