Cryptography Reference
In-Depth Information
2. Fall: P
= O
. Wegen P
U können wir ohne Einschränkung P
=( α
:
β
:1
)
voraussetzen und erhalten
0 .
2
2
T P =
(
u : v : w
) ∈P
;
(
3
α
a
)
u
+
2
β
v
+( β
2 a
α
3 b
)
w
=
2
β =
+
=
Wir zeigen, dass im Fall
0 gilt 3
α
a
0. Dann ist in jedem Fall mindestens
ein Koeffizient der Gleichung
2
2
(
)
+
+( β
α −
)
=
3
α
a
u
2
β
v
2 a
3 b
w
0
nicht Null, und der Lösungsraum dieser Gleichung ist ein zweidimensionaler
Untervektorraum von
3 . Hieraus folgt, dass T P eine Gerade der projektiven Ebe-
F
(
F )
ne PG
ist.
Wir nehmen also
2,
Nullstelle des Polynom x 3
β =
0 an. Dann ist
α
+
ax
+
b , weil
( α
)
auf E liegt. Dieses Polynom hat nach Voraussetzung keine mehrfachen
Nullstellen. Deshalb (vgl. Aufgabe 3.7) ist
:0:1
nicht Nullstelle der Ableitung 3 x 2
α
+
a
2
+
=
dieses Polynoms, also 3
0.
Nun begründen wir, dass der affine Punkt P auf der Geraden T P liegt. Dazu setzen
wir die Koordinaten des Punktes P in die Geradengleichung für T P ein:
α
a
2
2
3
2
(
) α +
ββ +( β
α −
)=
α +
3
α
a
2
2 a
3 b
3
α
3 a
3
β
3 b
2
3
=
( β
( α
+
α +
)
)=
3
a
b
0.
= f ( α , β )= 0
Folglich gilt P
T P .
Beispiel
Es sei
und E : y 2
x 3
F = R
=
x
=
x
(
x
1
)(
x
+
1
)
. Wir bestimmen die
Y 2 Z
X 3
XZ 2 .
=(
)
(
)=
+
Tangente im Punkt P
0:0:1
.Esist F
X , Y , Z
Daraus folgt
F
F
F
3 X 2
Z 2 ,
Y 2
X =
+
Y =
2 YZ ,
Z =
+
2 XZ ,
also
F
F
F
X (
P
)=
1,
Y (
P
)=
0,
Z (
P
)=
0.
Damit ist die Tangente
T
) = { (
u : v : w
)
; u
=
0
}
.
(
0:0:1
Affin gedeutet ist P der Nullpunkt und T P die y -Achse. Die Tangente entspricht
genau dem, was man anschaulich als Tangente an die Kurve bezeichnen würde.
Das wird auch an der linken Grafik auf Seite 226 deutlich.
 
Search WWH ::




Custom Search