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13.1.1 Definition projektiver Ebenen
Es sei
P
eine Menge, und
G
sei eine Menge von Teilmengen von
P
,d.h.
G⊆
Pot
(
P
)
. Das Paar
(
P
,
G
)
heißt
projektive Ebene
, falls die folgenden drei Bedin-
gungen erfüllt sind:
(P1) Zu je zwei Punkten
P
,
Q
∈P
mit
P
=
Q
existiert genau eine Gerade
G
∈G
∈
mit
P
,
Q
G
.
(P2) Für je zwei Geraden
G
,
H
∈G
gilt
|
G
∩
H
|
=
1 (d. h. zwei verschiedene
Geraden schneiden sich in genau einem Punkt).
(P3) Es gibt vier Punkte, von denen je drei nicht auf einer Geraden liegen.
Für
die n
ach (P1) eindeutig bestimmte Gerade
G
durch
P
und
Q
schreiben wir
G
=
P
,
Q
. Die Menge
P
nennt man die
Punktmenge
und die Menge
G
die
Gera-
(
P
G
)
denmenge
der projektiven Ebene
.
Der wesentliche Unterschied zu den affinen Ebenen ist offensichtlich: In einer af-
finen Ebene gibt es Geraden, die sich nicht schneiden, in einer projektiven Ebene
nicht - es gibt keine
Parallelen
. Bevor wir zu den Zusammenhängen zwischen
projektiven und affinen Ebene kommen, konstruieren wir die für uns wesentli-
che Klasse von Beispielen projektiver Ebenen - die
projektive Koordinatengeometrie
über einem (beliebigen) Körper
,
F
.
(
F
)
13.1.2 Die projektive Ebene
PG
2,
3
der (gewöhnliche) dreidimensionale
Es sei
F
F
-Vektorraum über dem Körper
F
.
3
\{
}
∈
F
3
\{
}
Wir erklären auf der Menge
F
0
eine Äquivalenzrelation. Für
a
,
b
0
setzen wir:
∼
⇔∃
λ
∈
F
\{
}
λ
=
a
b
:
0
mit
a
b
.
Für die Äquivalenzklasse von
a
bzgl.
∼
schreibt man
[
a
]
oder auch
(
a
1
:
a
2
:
a
3
)
,
3
falls
a
=(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
∈
F
\{
0
}
.
Bemerkung
Nimmt man zu der Äquivalenzklasse
[
a
]
noch den Nullvektor
(
0, 0, 0
)
dazu, so
erhält man den eindimensionalen Untervektorraum
F
a
.
Nun betrachten wir die Quotientenmenge:
.
3
3
P
=(
F
\{
}
)
∼
=
[
]
∈
F
\{
}
:
0
/
a
;
a
0
Für zwei verschiedene Punkte
P
=
Q
∈P
, etwa
P
=[
a
]
,
Q
=[
b
]
, setzen wir
P
,
Q
:
=
{
[
λ
a
+
μ
b
]
;
λ
,
μ
∈
F
,
(
λ
,
μ
)
=(
0, 0
)
}
.
Mit der Wahl
λ
=
1 und
μ
=
0 bzw.
λ
=
0 und
μ
=
1 folgt sofort
P
,
Q
∈
P
,
Q
.
