Cryptography Reference
In-Depth Information
Die Menge
P
,
Q
heißt
Verbindungsgerade
von
P
,
Q
. Wir bilden nun die Menge
sämtlicher Verbindungsgeraden durch jeweils zwei verschiedene Punkte:
=
P
,
Q
;
P
,
Q
Q
.
G
∈P
=
:
,
P
G
Die Geraden in
können wir mithilfe zw
eidi
mensionaler Untervektorräume be-
schreiben. Den Punkten auf der Geraden
P
,
Q
entsprechen genau diejenigen ein-
dimensionalen Untervektorräume, die im zweidimensionalen Untervektorraum
F
a
+
F
b
als Teilmengen enthalten sind. Dabei beachte man, dass die Bedingung
=
=[
]
=[
]
P
Q
für
P
a
und
Q
b
gleichwertig zur linearen Unabhängigkeit der
3
ist. Etwas formaler ausgedrückt:
Vektoren
a
,
b
∈
F
[
c
]
∈
[
a
]
,
[
b
]
⇔
F
c
⊆
F
a
+
F
b
⇔
c
∈
F
a
+
F
b
.
Aus der linearen Algebra ist die Koordinatendarstellung für Hyperebenen von
Vektorräumen bekannt. Auf unseren Fall angewendet, kann man jeden zweidi-
mensionalen Untervektorraum in
3
als Lösungsmenge
einer
linearen Gleichung
(genauer: als Nullstellenmenge einer Linearform) beschreiben. Übertragen auf
Geraden in der projektiven Ebene bedeutet das für
c
F
=(
)
c
1
,
c
2
,
c
3
:
[
]
∈
[
]
[
]
⇔
+
+
=
c
a
,
b
u
1
c
1
u
2
c
2
u
3
c
3
0
3
=(
)
∈
F
\{
}
für ein
u
u
1
,
u
2
,
u
3
0
. Es wird häufig nützlich sein, Geraden auf
diese Weise darzustellen.
Lemma 13.1
Es ist
(
P
G
)
,
eine projektive Ebene.
Beweis.
Wir haben zu zeigen, dass die Bedingungen (P1), (P2) und (P3) gelten.
(P1) Die Existenzaussage ist klar, die Eindeutigkeit folgt aus (P2).
(P2) Es seien
G
,
H
a
,
b
,
c
)
∈
∈G
,
G
=
H
. Es gibt linear unabhängige
(
a
,
b
,
c
)
,
(
3
mit:
F
=
{
(
)
∈P
+
+
=
}
G
x
:
y
:
z
;
ax
by
cz
0
und
=
(
0
.
x
:
y
:
z
)
∈P
;
a
x
+
b
y
+
c
z
=
H
Es folgt
=
(
0
.
0 und
a
x
b
y
c
z
G
∩
H
x
:
y
:
z
)
∈P
;
ax
+
by
+
cz
=
+
+
=
Dieses lineare Gleichungssystem hat als Lösungsmenge einen eindimensionalen
Untervektorraum. Dieser definiert einen Punkt in
P
|
∩
|
=
. Folglich gilt
G
H
1.
(P3) Die vier verschiedenen Punkte
(
1:0:0
)
,
(
0:1:0
)
,
(
0:0:1
)
,
(
1:1:
1
)
erfüllen die geforderte Bedingung.
Es heißt
(
F
)
=(
P
G
)
PG
2,
:
,
die
projektive Ebene
über
F
.
