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2.4.1 Stellenwertsystem
In einem Stellenwertsystem wird eine Zahl durch eine Folge von n Ziffern
dargestellt:
b
n1
b
n2
:::b
1
b
0
Jedes Stellenwertsystem hat eine Basis B. Das ist die Anzahl der zu unter-
scheidenden Ziffern. Die Ziffern haben die Werte null bis B1. Jede Ziffer hat
eine Stelle i mit dem Stellenwert B
i
. Der Wert einer Zahl Z ist die Summe
der Produkte aus den Ziffernwerten und den Stellenwerten:
n
X
b
i
B
i
Z =
(2.2)
i=0
Die kleinste darstellbare Zahl hat den Wert null und die größte mit n Ziffern
darstellbare Zahl hat den Wert B
n
1. Wenn die Basis einer Zahlendarstellung
nicht eindeutig aus dem Kontext hervorgeht, ist sie bei der Zahlendarstellung
explizit anzugeben, z.B. wie in Abb. 2.64 als Index.
dezimal bin¨ar oktal hex. dezimal bin¨ar oktal hex.
0
1
0
2
1
2
0
8
1
8
0
16
1
16
··· ···
···
···
15
1111
2
17
8
20
8
F
16
10
16
···
··· ··· ···
16
10000
2
7
8
111
2
1000
2
7
8
10
8
7
16
8
16
17 10001
2
21
8
···
11
16
···
··· ···
Abb. 2.64. Zahlendarstellung im Dezimal-, im Binär-, im Oktal- und und im Hexa-
dezimalsystem
Das im Alltagsleben verwendete Dezimalsystem hat die Basis B = 10
und die zehn Ziffern mit den Werten von null bis neun. Die Zahl 543 hat
beispielsweise den Wert
543 = 5 10
2
+ 4 10
1
+ 3 10
0
Mit drei Ziffern lassen sich die Werte 0 bis 999 darstellen.
Das in der Digitaltechnik verwendete Binärsystem hat die Basis B = 2. Zur
Darstellung von drei Dezimalziffern werden etwa zehn Binärziffern benötigt.
Das Oktalsystem hat die Basis B = 8 und die Ziffernmenge b
i
2f0; 1; :::; 7g.
Das Hexadezimalsystem hat die Basis B = 16. Die Ziffernmenge umfassen die
zehn Dezimalziffern und die ersten sechs Buchstaben des Alphabets:
b
i
2f0; 1; :::; 9; A; B; C; D; E; Fg
Jede Oktalziffer fasst genau drei Binärziffern und jede Hexadezimalziffer vier
Binärziffern zusammen. Oktal- und Hexadezimalzahlen dienen hauptsächlich
als verkürzte, besser lesbare Schreibweisen für Binärzahlen.
