Bildvergleich - Digitale Bildverarbeitung - page 405

Abstand und Korrelation

17 Bildvergleich

Der N -dimensionale euklidische Abstand (Gl. 17.3) ist von besonderer
Bedeutung und wird wegen seiner formalen Qualitaten auch in der Sta-
tistik haufig verwendet. Um die beste Ubereinstimmung zwischen dem
Referenzbild R ( u, v ) und dem Zielbild I ( u, v ) zu finden, genugt es, das
Quadrat von d E (das in jedem Fall positiv ist) zu minimieren, welches
in der Form
d E ( r, s )=
( i,j ) ∈R

I ( r + i, s + j )

R ( i, j ) 2

− (17.4)

=
( i,j )

+
( i,j )

2
( i,j )

I ( r + i, s + j ) 2 R ( i, j ) 2

− I ( r + i, s + j ) · R ( i, j )

∈ R ∈ R ∈ R

A ( r, s ) B C ( r, s )

expandiert werden kann. Der Ausdruck B in Gl. 17.4 ist dabei die qua-
dratische Summe aller Werte im Referenzbild R , also eine von r, s un-
abhangige Konstante, die ignoriert werden kann. Der Ausdruck A ( r, s )ist
die quadratische Summe der Werte des entsprechenden Bildausschnitts
in I beim aktuellen Offset ( r, s ), und C ( r, s ) entspricht der so genannten
linearen Kreuzkorrelation zwischen I und R . Diese ist fur den allgemei-
nen Fall definiert als

∞ ∞

( I R )( r, s )= I ( r + i, s + j ) · R ( i, j ) , (17.5)

i = −∞ j = −∞

was - da R und I außerhalb ihrer Grenzen als null angenommen werden
-wiederumaquivalent ist zu

w R − 1 h R − 1

R ( i, j )=
( i,j ) ∈R

I ( r + i, s + j ) · I ( r + i, s + j ) · R ( i, j )= C ( r, s ) .

i =0 j =0

Die Korrelation ist damit im Grunde dieselbe Operation wie die lineare
Faltung (Abschn. 6.3.1, Gl. 6.14), außer dass bei der Korrelation der Fal-
tungskern (in diesem Fall R ( i, j )) implizit gespiegelt ist.
Wenn nun A ( r, s ) in Gl. 17.4 innerhalb des Bilds I weitgehend kon-
stant ist - also die ” Signalenergie“ annahernd gleichformig im Bild ver-
teilt ist -, dann befindet sich an der Position des Maximalwerts der
Korrelation C ( r, s ) gleichzeitig auch die Stelle der hochsten Uberein-
stimmung zwischen R und I . In diesem Fall kann also der Minimalwert
von d E ( r, s ) (Gl. 17.4) allein durch Berechnung des Maximalwerts der
Korrelation I

R ermittelt werden. Das ist u. a. deshalb interessant,
weil die Korrelation uber die Fouriertransformation im Spektralraum
sehr e zient berechnet werden kann (s. Abschn. 14.5).