Digital Signal Processing Reference
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x
i
=(
x
i
,y
i
) im Zielbild, konnen die acht unbe-
kannten Parameter
a
11
...a
32
der Abbildung durch Losung des folgenden
linearen Gleichungssystems berechnet werden, das sich durch Einsetzen
der Punktkoordinaten in Gl. 16.17 ergibt:
dem zugehorigen Punkt
16.1
2D-Koordinaten-
transformation
x
i
=
a
11
x
i
+
a
12
y
i
+
a
13
−
a
31
x
i
x
i
−
a
32
y
i
x
i
(16.18)
y
i
=
a
21
x
i
+
a
22
y
i
+
a
23
−
a
31
x
i
y
i
−
a
32
y
i
y
i
fur
i
=1
...
4. Zusammengefasst ergeben diese acht Gleichungen in Ma-
trixschreibweise
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
x
4
y
4
x
1
x
1
y
1
x
1
x
1
y
1
10 00
−
−
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
x
1
y
1
y
1
y
1
000
x
1
y
1
1
−
−
x
2
x
2
y
2
x
2
x
2
y
2
10 00
−
−
000
x
2
y
2
1
−
x
2
y
2
−
y
2
y
2
=
·
(16.19)
x
3
y
3
10 00
−
x
3
x
3
−
y
3
x
3
000
x
3
y
3
1
−
x
3
y
3
−
y
3
y
3
x
4
x
4
y
4
x
4
x
4
y
4
10 00
−
−
x
4
y
4
y
4
y
4
000
x
4
y
4
1
−
−
beziehungsweise
x
=
M
·
a
.
(16.20)
Der unbekannte Parametervektor
=(
a
11
,a
12
,...a
32
) kann durch
Losung dieses Gleichungssystems mithilfe eines der numerischen Stan-
dardverfahren (z. B. mit dem Gauß-Algorithmus [90, S. 1099]) berechnet
werden.
2
a
Inversion der projektiven Abbildung
x
=
Eine lineare Abbildung der Form
A
·
x
kann allgemein durch Inver-
A
−
1
·
x
, vorausgesetzt
tieren der Matrix
A
umgekehrt werden, d. h.
x
=
A
ist regular (Det(
A
)
=0).Fur eine 3
×
3-Matrix
A
lasst sich die Inverse
auf relativ einfache Weise durch die Beziehung
1
Det(
A
−
1
=
)
A
adj
(16.21)
A
uber die Determinante Det(
) und die zugehorige
adjungierte
Matrix
A
adj
berechnen [12, S. 270], wobei im allgemeinen Fall
A
⎛
⎞
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
⎝
⎠
A
=
und
2
Dafur greift man am besten auf fertige Software zuruck, wie z. B.
Jam-
pack
(Java Matrix Package) von G. W. Stewart (ftp://math.nist.gov/pub/
Jampack/Jampack/AboutJampack.html).
