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I
I
16
Geometrische
Bildoperationen
x
3
x
3
x
2
Abbildung 16.3
Projektive Abbildung. Durch vier
korrespondierende Punktpaare
ist eine projektive Abbildung ein-
deutig spezifiziert. Geraden wer-
den wieder in Geraden, Rechtecke
in beliebige Vierecke abgebildet.
Parallelen bleiben nicht erhalten
und auch die Abstandsverhaltnisse
zwischen Punkten auf einer Ge-
raden werden i. Allg. verandert.
x
2
x
4
x
1
x
4
x
1
von Vierecken, etwa bei der Transformationen auf Basis einer Mesh-
Partitionierung (Abschn.16.1.7). Um vier beliebig angeordnete 2D-Punkt-
paare ineinander uberzufuhren, erfordert die zugehorige Abbildung ins-
gesamt acht Freiheitsgrade. Die gegenuber der a
nen Abbildung zusatz-
lichen zwei Freiheitsgrade ergeben sich in der so genannten
projektiven
Abbildung
1
durch die Koe
zienten
a
31
,a
32
:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x
y
h
h
x
h
y
h
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
1
x
y
1
⎝
⎠
=
⎝
⎠
=
⎝
⎠
·
⎝
⎠
(16.16)
Diese in homogenen Koordinaten lineare Abbildung entspricht in karte-
sischen Koordinaten der nichtlinearen Transformation
h
·
a
11
x
+
a
12
y
+
a
13
=
1
a
11
x
+
a
12
y
+
a
13
a
31
x
+
a
32
y
+1
x
=
(16.17)
h
·
a
21
x
+
a
22
y
+
a
23
=
1
a
21
x
+
a
22
y
+
a
23
a
31
x
+
a
32
y
+1
y
=
Geraden bleiben aber trotz dieser Nichtlinearitat auch unter einer pro-
jektiven Abbildung erhalten. Tatsachlich ist dies die allgemeinste Trans-
formation, die Geraden auf Geraden abbildet und algebraische Kurven
n
-ter Ordnung wieder in algebraische Kurven
n
-ter Ordnung uberfuhrt.
Insbesondere werden etwa Kreise oder Ellipsen wieder als Kurven zweiter
Ordnung (Kegelschnitte) abgebildet. Im Unterschied zur a
nen Abbil-
dung mussen aber parallele Geraden nicht wieder auf parallele Geraden
abgebildet werden und auch die Abstandsverhaltnisse zwischen Punkten
auf einer Geraden bleiben im Allgemeinen nicht erhalten (Abb. 16.3).
Ermittlung der Abbildungsparameter
x
1
)
...
Bei Vorgabe von vier korrespondierenden 2D-Punktpaaren (
x
1
,
x
4
), mit jeweils einem Punkt
(
x
4
,
x
i
=(
x
i
,y
i
) im Ausgangsbild und
1
Auch als
perspektivische
oder
pseudoperspektivische
Abbildung bezeichnet.
