Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
c
m
cos
π
(2
u
+1)
m
2
M
c
n
cos
π
(2
v
+1)
n
2
N
M−
1
N−
1
2
√
MN
15.3
Andere
Spektraltransformationen
g
(
u, v
)=
G
(
m, n
)
·
·
m
=0
n
=0
M−
1
N−
1
2
√
MN
m
(
u
)
n
(
v
)
=
G
(
m, n
)
·
c
m
D
·
c
n
D
(15.6)
m
=0
n
=0
fur 0
v<N
.DieFaktoren
c
m
und
c
n
in Gl. 15.5
und 15.6 sind die gleichen wie im eindimensionalen Fall (Gl. 15.3). Man
beachte, dass in der Vorwartstransformation (und nur dort!) beide Fak-
toren
c
m
,
c
n
unabhangig von den Laufvariablen
u, v
sind und daher (wie
in Gl. 15.5 gezeigt) außerhalb der Summation stehen konnen.
≤
u<M
und 0
≤
15.2.1 Separierbarkeit
Wie die DFT (s. Gl. 14.6) kann auch die zweidimensionale DCT in zwei
aufeinander folgende, eindimensionale Transformationen getrennt wer-
den. Um dies deutlich zu machen, lasst sich beispielsweise die Vorwarts-
transformation in folgender Form ausdrucken:
G
(
m, n
)=
N
M
N−
1
M−
1
m
(
u
)
n
(
v
)
.
g
(
u, v
)
·
c
m
D
·
c
n
D
(15.7)
v
=0
u
=0
eindimensionale
DCT
[
g
(
·
,v
)]
Der innere Ausdruck in Gl. 15.7 entspricht einer eindimensionalen DCT
der
v
-ten Zeile
g
(
,v
) der 2D Signalfunktion. Man kann daher, wie bei
der 2D-DFT, zunachst eine eindimensionale DCT auf jede der Zeilen
eines Bilds anwenden und anschließend eine DCT in jeder der Spalten.
Naturlich konnte man genauso in umgekehrter Reihenfolge rechnen, also
zuerst uber die Spalten und dann uber die Zeilen.
·
15.2.2 Beispiele
Die Ergebnisse der DFT und der DCT sind anhand eines Beispiels in
Abb. 15.2 gegenubergestellt. Weil das DCT-Spektrum (im Unterschied
zur DFT) nicht symmetrisch ist, verbleibt der Koordinatenursprung bei
der Darstellung links oben und wird nicht ins Zentrum verschoben. Beim
DCT-Spektrum ist der Absolutwert logarithmisch als Intensitat darge-
stellt, bei der DFT wie ublich das zentrierte, logarithmische Leistungs-
spektrum. Man beachte, dass die DCT also nicht einfach ein Teilaus-
schnitt der DFT ist, sondern die Strukturen aus zwei gegenuberliegenden
Quadranten des Fourierspektrums kombiniert.
15.3 Andere Spektraltransformationen
Die diskrete Fouriertransformation ist also nicht die einzige Moglich-
keit, um ein gegebenes Signal in einem Frequenzraum darzustellen.
