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Die diskrete Kosinustransformation (DCT)
Die Fouriertransformation und die DFT sind fur die Verarbeitung kom-
plexwertiger Signale ausgelegt und erzeugen immer ein komplexwerti-
ges Spektrum, auch wenn das ursprungliche Signal ausschließlich reelle
Werte aufweist. Der Grund dafur ist, dass weder der reelle noch der ima-
ginare Teil des Spektrums allein ausreicht, um das Signal vollstandig dar-
stellen (d. h. rekonstruieren) zu konnen, da die entsprechenden Kosinus-
bzw. Sinusfunktionen jeweils fur sich kein vollstandiges System von
Basisfunktionen bilden.
Andererseits wissen wir (Gl. 13.21), dass ein reellwertiges Signal zu
einem symmetrischen Spektrum fuhrt, sodass also in diesem Fall das
komplexwertige Spektrum redundant ist und wir eigentlich nur die Halfte
aller Spektralwerte berechnen mussten, ohne dass dabei irgendwelche
Informationen aus dem Signal verloren gingen.
Es gibt eine Reihe von Spektraltransformationen, die bezuglich ihrer
Eigenschaften der DFT durchaus ahnlich sind, aber nicht mit komple-
xen Funktionswerten arbeiten. Ein bekanntes Beispiel ist die diskrete
Kosinustransformation (DCT), die vor allem im Bereich der Bild- und
Videokompression breiten Einsatz findet und daher auch fur uns inter-
essant ist. Die DCT verwendet ausschließlich Kosinusfunktionen unter-
schiedlicher Wellenzahl als Basisfunktionen und beschrankt sich auf re-
ellwertige Signale und Spektralkoe
zienten. Analog dazu existiert auch
eine diskrete Sinustransformation (DST) basierend auf einem System
von Sinusfunktionen [49].
15.1 Eindimensionale DCT
Die diskrete Kosinustransformation ist allerdings nicht, wie man viel-
leicht annehmen konnte, nur eine
”
halbseitige“ Variante der diskreten
