Diskrete Fouriertransformation in 2D - Digitale Bildverarbeitung - page 334

Die Aufnahme eines Bilds entspricht der Entnahme eines endlichen
Abschnitts aus einem eigentlich unendlichen Bildsignal, wobei die Be-
schneidung an den Bildrandern implizit der Multiplikation mit einer
Rechteckfunktion mit der Breite M und der Hohe N entspricht. In die-
sem Fall wird also das Spektrum der ursprunglichen Intensitatsfunktion
mit dem Spektrum der Rechteckfunktion gefaltet. Das Problem dabei ist,
dass das Spektrum der Rechteckfunktion (s. Abb. 14.9 (a)) extrem breit-
bandig ist, also von dem oben genannten Ideal einer moglichst schmalen
Pulsfunktion weit entfernt ist.
Diese beiden Beispiele zeigen das Dilemma: Fensterfunktionen sollten
einerseits moglichst breit sein, um einen moglichst großen Anteil des
ursprunglichen Bilds zu berucksichtigen, andererseits zu den Bildrandern
hin auf null abfallen und gleichzeitig nicht zu steil sein, um selbst kein
breitbandiges Spektrum zu erzeugen.

14 Diskrete
Fouriertransformation in 2D

14.3.7 Fensterfunktionen

Geeignete Fensterfunktionen mussen daher weiche Ubergange aufweisen
und dafur gibt es viele Varianten, die in der digitalen Signalverarbeitung
theoretisch und experimentell untersucht wurden (s. beispielsweise [11,
Abschn. 9.3], [67, Kap. 10]). Tabelle 14.1 zeigt die Definitionen einiger
gangiger Fensterfunktionen, die auch in Abb. 14.9-14.10 jeweils mit dem
zugehorigen Spektrum dargestellt sind.
Das Spektrum der Rechteckfunktion (Abb. 14.9 (a)), die alle Bild-
elemente gleich gewichtet, weist zwar eine relativ dunne Spitze am Ur-
sprung auf, die zunachst eine geringe Verwischung im resultierenden Ge-
samtspektrum verspricht. Allerdings fallt die spektrale Energie zu den
hoheren Frequenzen hin nur sehr langsam ab, sodass sich insgesamt ein
ziemlich breitbandiges Spektrum ergibt. Wie zu erwarten zeigt die el-
liptische Fensterfunktion in Abb. 14.9 (b) ein sehr ahnliches Verhalten.
Das Gauß-Fenster Abb. 14.9 (c) zeigt deutlich, dass durch eine schmalere
Fensterfunktion w ( u, v ) die Nebenkeulen effektiv eingedammt werden
konnen, allerdings auf Kosten deutlich verbreiterten Spitze im Zentrum.
Tatsachlich stellt keine der Funktionen in Abb. 14.9 eine gute Fenster-
funktion dar.
Die Auswahl einer geeigneten Fensterfunktion ist offensichtlich ein
heikler Kompromiss, zumal trotz ahnlicher Form der Funktionen im
Ortsraum große Unterschiede im Spektralverhalten moglich sind. Guns-
tige Eigenschaften bieten z. B. das Hanning -Fenster (Abb. 14.10 (c)) und
das Parzen -Fenster (Abb. 14.10 (d)), die einfach zu berechnen sind und
daher in der Praxis auch haufig eingesetzt werden.
Abb. 14.11 zeigt die Auswirkungen einiger ausgewahlter Fensterfunk-
tionen auf das Spektrum eines Intensitatsbilds. Deutlich ist zu erkennen,
dass mit zunehmender Verengung der Fensterfunktion zwar die durch die
Periodizitat des Signals verursachten Artefakte unterdruckt werden, je-
doch auch die Auflosung im Spektrum abnimmt und dadurch einzelne