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Wellenzahlen (0
,
0), also am Koordinatenursprung (s. auch Abschn.14.4).
Um den hohen Wertebereich innerhalb des Spektrums und insbesondere
die kleineren Werte an der Peripherie des Spektrums sichtbar zu ma-
14
Diskrete
Fouriertransformation in 2D
chen, wird haufig die Quadratwurzel
|
G
(
m, n
)
|
oder der Logarithmus
log
|
G
(
m, n
)
|
des Leistungsspektrums fur die Darstellung verwendet.
14.2.2 Zentrierte Darstellung
Wie im eindimensionalen Fall ist das diskrete 2D-Spektrum eine peri-
odische Funktion, d. h.
G
(
m, n
)=
G
(
m
+
pM, n
+
qN
)
(14.7)
fur beliebige
p, q
, und bei reellwertigen 2D-Signalen ist das Lei-
stungsspektrum (vgl. Gl. 13.53) uberdies um den Ursprung symmetrisch,
also
∈
Z
.
(14.8)
Es ist daher ublich, den Koordinatenursprung (0
,
0) des Spektrums
zen-
triert
darzustellen, mit den Koordinaten
m, n
im Bereich
−
2
≤
|
G
(
m, n
)
|
=
|
G
(
−
m,
−
n
)
|
≤
M−
2
bzw.
−
2
≤
≤
N−
2
.
m
n
Wie in Abb. 14.3 gezeigt, kann dies durch einfaches Vertauschen der
vier Quadranten der Fouriertransformierten durchgefuhrt werden. In der
resultierenden Darstellung finden sich damit die Koe
zienten fur die
niedrigsten Wellenzahlen im Zentrum, und jene fur die hochsten Wel-
lenzahlen liegen an den Randern. Abb. 14.4 zeigt die Darstellung des
Abbildung 14.3
Zentrierung der 2D-Fourierspektrums.
Im ursprunglichen Ergebnis der 2D-
DFT liegt der Koordinatenursprung
(und damit der Bereich niedriger Fre-
quenzen) links oben und - aufgrund
der Periodizitat des Spektrums -
gleichzeitig auch an den ubrigen Eck-
punkten (a). Die Koezienten der
hochsten Wellenzahlen liegen hinge-
gen im Zentrum. Durch paarweises
Vertauschen der vier Quadranten wer-
den der Koordinatenursprung und
die niedrigen Wellenzahlen ins Zen-
trum verschoben, umgekehrt kommen
die hohen Wellenzahlen an den Rand
(b). Konkretes 2D-Fourierspektrum
in ursprunglicher Darstellung (c)
und zentrierter Darstellung (d).
A
D
C
B
B
C
D
A
(a)
(b)
