Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Signal (d. h.
g
Im
(
u
)=0fur alle
u
) muss also der Koe
zient
G
Im
(0) des
zugehorigen Fourierspektrums ebenfalls null sein.
Wie wir aus Abb. 13.11 sehen, entspricht der Wellenzahl
m
=1eine
Kosinus- bzw. Sinusfunktion, die uber die Signallange
M
=8exakt
einen
vollen Zyklus durchlauft. Eine Wellenzahl
m
=2
...
7entsprichtana-
log dazu 2
...
7 vollen Zyklen uber die Signallange hinweg (Abb. 13.11-
13.12).
13.3
Die diskrete
Fouriertransformation (DFT)
13.3.3 Schon wieder Aliasing!
Ein genauerer Blick auf Abb. 13.11 und 13.12 zeigt einen interessanten
Sachverhalt: Die abgetasteten (diskreten) Kosinus- bzw. Sinusfunktio-
nen fur
m
= 3 und
m
=5sind
identisch
, obwohl die zugehorigen kon-
tinuierlichen Funktionen unterschiedlich sind! Dasselbe gilt auch fur die
Frequenzpaare
m
=2
,
6 und
m
=1
,
7. Was wir hier sehen, ist die Ma-
nifestation des Abtasttheorems - das wir ursprunglich (Abschn. 13.2.1)
im Frequenzraum beschrieben hatten - im
Ortsraum
. Offensichtlich ist
also
m
= 4 die maximale Frequenzkomponente, die mittels eines dis-
kreten Signals der Lange
M
= 8 beschrieben werden kann. Jede
hohere
Frequenzkomponente (in diesem Fall
m
=5
...
7) ist in der diskreten Ver-
sion identisch zu einer anderen Komponente mit niedrigerer Wellenzahl
und kann daher aus dem diskreten Signal nicht rekonstruiert werden!
Wenn ein kontinuierliches Signal im regelmaßigen Abstand
τ
abge-
tastet wird, wiederholt sich das zugehorige Spektrum an Vielfachen von
ω
s
=2
π/τ
, wie bereits an fruherer Stelle gezeigt (Abb. 13.8). Im diskre-
ten Fall ist das Spektrum periodisch mit
M
. Weil das Fourierspektrum
eines reellwertigen Signals um den Ursprung symmetrisch ist (Gl. 13.21),
hat jede Spektralkomponente mit der Wellenzahl
m
ein gleich großes
Duplikat mit der gegenuberliegenden Wellenzahl
m
.DieSpektralkom-
ponenten erscheinen also paarweise gespiegelt an Vielfachen von
M
,d.h.
−
|G
(
m
)
|
=
|G
(
M −m
)
|
=
|G
(
M
+
m
)
|
(13.53)
=
|G
(2
M −m
)
|
=
|G
(2
M
+
m
)
|
...
=
|
G
(
kM
−
m
)
|
=
|
G
(
kM
+
m
)
|
fur alle
k
. Wenn also das ursprungliche, kontinuierliche Signal Ener-
gie mit Frequenzen
∈
Z
ω
m
>ω
M/
2
,
enthalt, also Komponenten mit einer Wellenzahl
m>M/
2, dann uber-
lagern (addieren) sich - entsprechend dem Abtasttheorem - die uber-
lappenden Teile der replizierten Spektra im resultierenden, periodischen
Spektrum des diskreten Signals.
