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13.3.1 Definition der DFT
13.3
Die diskrete
Fouriertransformation (DFT)
Die diskrete Fouriertransformation ist, wie auch bereits die kontinuier-
liche FT, in beiden Richtungen identisch. Die Vorwartstransformation
(
DFT
)fur ein diskretes Signal
g
(
u
)derLange
M
(
u
=0
...M
−
1) ist
definiert als
M−
1
1
√
M
e
−
i2
π
m
M
G
(
m
)=
g
(
u
)
·
fur 0
≤
m<M.
(13.43)
u
=0
Analog dazu ist die
inverse
Transformation (
DFT
−
1
)
M−
1
1
√
M
e
i2
π
m
M
g
(
u
)=
G
(
m
)
·
fur 0
≤
u<M.
(13.44)
m
=0
Sowohl das Signal
g
(
u
) wie auch das diskrete Spektrum
G
(
m
) sind kom-
plexwertige Vektoren der Lange
M
,d.h.
g
(
u
)=
g
Re
(
u
)+i
·
g
Im
(
u
)
(13.45)
G
(
m
)=
G
Re
(
m
)+i
·
G
Im
(
m
)
fur
u, m
=0
...M
1. Ein konkretes Beispiel der DFT mit
M
=10ist
in Abb. 13.10 gezeigt.
−
u
g
(
u
)
G
(
m
)
m
Abbildung 13.10
Komplexwertige Vektoren. Bei der
diskreten Fouriertransformation
(DFT) sind das ursprungliche Signal
g
(
u
) und das zugehorige Spektrum
G
(
m
) jeweils komplexwertige Vekto-
ren der Lange
M
. Im konkreten Bei-
spiel ist
M
= 10. Fur die mit
∗
mar-
kierten Werte gilt
|G
(
m
)
| <
10
−
15
.
0
1.0000
0.0000
14
.
2302
0
.
0000
0
1
3.0000
0.0000
DFT
−
5
.
6745
−
2
.
9198
1
∗
0
.
0000
∗
0
.
0000
2
5.0000
0.0000
−→
2
3
7.0000
0.0000
−
0
.
0176
−
0
.
6893
3
∗
0
.
0000
∗
0
.
0000
4
9.0000
0.0000
4
5
8.0000
0.0000
0
.
3162
0
.
0000
5
∗
0
.
0000
∗
0
.
0000
6
6.0000
0.0000
6
DFT
−
1
7
4.0000
0.0000
−
0
.
0176
0
.
6893
7
∗
0
.
0000
∗
0
.
0000
8
2.0000
0.0000
←−
8
9
0.0000
0.0000
−
5
.
6745
2
.
9198
9
Re
Im
Re
Im
Umgeformt aus der Euler'schen Schreibweise in Gl. 13.43 (s. auch Gl.
13.10) ergibt sich das diskrete Fourierspektrum in der Komponenten-
notation als
g
Re
(
u
)+i
cos
2
π
m
M
,
M−
1
sin
2
π
m
M
1
√
M
G
(
m
)=
·
g
Im
(
u
)
·
−
i
·
u
=0
g
(
u
)
M
m
(
u
)
M
m
(
u
)
C
S
(13.46)
