Digital Signal Processing Reference
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man allerdings annimmt, dass das Frequenzbereich eines Signals bei null
beginnt, dann sind naturlich Bandbreite und Maximalfrequenz ohnehin
identisch.
13.3
Die diskrete
Fouriertransformation (DFT)
13.2.2 Diskrete und periodische Funktionen
Nehmen wir an, unser ursprungliches, kontinuierliches Signal
g
(
x
)ist
periodisch
mit einer Periodendauer
T
. In diesem Fall besteht das zu-
gehorige Fouriersprektrum
G
(
ω
) aus einer Folge dunner Spektrallinien,
die gleichmaßig im Abstand von
ω
0
=2
π/T
angeordnet sind. Das Fou-
rierspektrum einer periodischen Funktion kann also (wie bereits in Ab-
schn. 13.1.2 erwahnt) als Fourierreihe dargestellt werden und ist somit
diskret
. Wird, im umgekehrten Fall, ein kontinuierliches Signal
g
(
x
)inre-
gelmaßigen Intervallen
τ abgetastet
(also diskretisiert), dann wird das zu-
gehorige Fourierspektrum
periodisch
mit der Periodenlange
ω
s
=2
π/τ
.
Diskretisierung im Ortsraum fuhrt also zu Periodizitat im Spektral-
raum und umgekehrt. Abb. 13.9 zeigt diesen Zusammenhang und illu-
striert damit den Ubergang von einer kontinuierlichen, nicht periodi-
schen Funktion zu einer diskreten, periodischen Funktion, die schließlich
als endlicher Vektor von Werten dargestellt und digital verarbeitet wer-
den kann.
Das Fourierspektrum eines
kontinuierlichen
, nicht periodischen Si-
gnals
g
(
x
) ist i. Allg. wieder kontinuierlich und nicht periodisch (Abb.
13.9 (a,b)). Ist das Signal
g
(
x
)
periodisch
, wird das zugehorige Spektrum
diskret
(Abb. 13.9 (c,d)). Umgekehrt fuhrt ein diskretes - aber nicht not-
wendigerweise periodisches - Signal zu einem periodischen Spektrum
(Abb. 13.9 (e,f)). Ist das Signal schließlich diskret
und
periodisch mit ei-
ner Periodenlange von
M
Abtastwerten, dann ist auch das zugehorige
Spektrum diskret und periodisch mit
M
Werten (Abb.13.9 (g,h)). Die Si-
gnale und Spektra in Abb. 13.9 sind ubrigens nur zur Veranschaulichung
gedacht und korrespondieren nicht wirklich.
13.3 Die diskrete Fouriertransformation (DFT)
Im Fall eines diskreten, periodischen Signals benotigen wir also nur eine
endliche Folge von
M
Abtastwerten, um sowohl das Signal
g
(
u
)selbst
als auch sein Fourierspektrum
G
(
m
) vollstandig abzubilden.
11
Durch die
Darstellung als endliche Vektoren sind auch alle Voraussetzungen fur
die numerische Verarbeitung am Computer gegeben. Was uns jetzt noch
fehlt ist eine Variante der Fouriertransformation fur diskrete Signale.
schmalbandiges Schwingungssystem mit geringer Dampfung) nur alle 5 Se-
kunden anzustoßen (bzw.
”
abzutasten“), um damit eine relativ hochfre-
quente Schallwelle eindeutig zu generieren.
11
Anm. zur Notation: Wir verwenden
g
(
x
),
G
(
ω
)fur ein
kontinuierliches
Si-
gnal oder Spektrum und
g
(
u
),
G
(
m
)fur die
diskreten
Versionen.
