Digital Signal Processing Reference
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τ
=1
13.2
Ubergang zu diskreten
Signalen
Kammfunktion: III
1
(
x
) = III(
x
)
(a)
Abbildung 13.7
Kammfunktion und deren Fourier-
transformierte. Kammfunktion III
τ
(
x
)
fur das Abtastintervall
τ
= 1 (a) und
die zugehorige Fouriertransformierte
(b). Kammfunktion fur
τ
= 3 (c) und
Fouriertransformierte (d). Man be-
achte, dass die tatsachliche Hohe der
einzelnen
δ
-Pulse nicht definiert ist
und hier nur zur Illustration darge-
stellt ist.
x
!
!
!
!
!
!
!
"
Fouriertransformierte: III(
2
π
ω
)
(b)
ω
!
!
!
!
!
!
!
#
τ
=3
Kammfunktion: III
3
(
x
) = III(
3
x
)
(c)
x
!
!
!
!
!
!
!
τ
=3
Fouriertransformierte: 3III(
2
π
ω
)
(d)
ω
!
!
!
!
!
!
!
ω
0
=
2
π
3
ebenfalls die ursprungliche Funktion
f
(
x
), jedoch verschoben um die
gleiche Distanz
d
:
f
(
x
)
∗
δ
(
x
−
d
)=
f
(
x
−
d
)
.
(13.41)
Das hat zur Folge, dass im Fourierspektrum des abgetasteten Signals
G
(
ω
) das Spektrum
G
(
ω
)desursprunglichen, kontinuierlichen Signals
unendlich oft, namlich an jedem Puls im Spektrum der Abtastfunktion,
repliziert wird (Abb. 13.8 (a,b))!
Das daraus resultierende Fourierspektrum ist daher periodisch mit
der Periodenlange
2
π
τ
, also im Abstand der Abtastfrequenz
ω
s
.
Aliasing
und das Abtasttheorem
Solange sich die durch die Abtastung replizierten Spektralkomponenten
in
G
(
ω
)nichtuberlappen, kann das ursprungliche Spektrum
G
(
ω
) - und
damit auch das ursprungliche, kontinuierliche Signal
g
(
x
) - ohne Verluste
aus einer beliebigen Replika von
G
(
ω
) aus dem periodischen Spektrum
G
(
ω
) rekonstruiert werden. Dies erfordert jedoch offensichtlich (Abb.
13.8), dass die im ursprunglichen Signal
g
(
x
) enthaltenen Frequenzen
nach oben beschrankt sind, das Signal also keine Komponenten mit Fre-
quenzen großer als
ω
max
enthalt. Die maximal zulassige Signalfrequenz
