Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
g
(
x
)
13
Einfuhrung in
Spektraltechniken
x
Abbildung 13.6
Abtastung mit der Kammfunktion.
Das ursprungliche, kontinuierliche
Signal
g
(
x
) wird mit der Kamm-
funktion III(
x
) multipliziert. Nur
an den ganzzahligen Positionen
x
i
∈
Z
wird der entsprechende Wert
g
(
x
i
) in das Ergebnis
g
(
x
i
) uber-
nommen, uberall sonst ignoriert.
!
!
!
!
!
III(
x
)
x
!
!
!
!
!
g
(
x
)
x
Auswirkungen vorherzusagen bzw. zu interpretieren. Die Kammfunk-
tion besitzt, ahnlich der Gauß-Funktion, die seltene Eigenschaft, dass
ihre Fouriertransformierte
1
2
π
ω
)
III(
x
)
III(
(13.38)
wiederum eine Kammfunktion ist, also den gleichen Funktionstyp hat.
Skaliert auf ein beliebiges Abtastintervall
τ
ergibt sich aufgrund der Ahn-
lichkeitseigenschaft (Gl. 13.24) im allgemeinen Fall als Fouriertransfor-
mierte der Kammfunktion
τ
III
2
π
ω
.
III(
τ
)
(13.39)
Abb. 13.7 zeigt zwei Beispiele der Kammfunktionen III
τ
(
x
)mitunter-
schiedlichen Abtastintervallen
τ
=1bzw.
τ
= 3 sowie die zugehorigen
Fouriertransformierten.
Was passiert nun bei der Diskretisierung mit dem Fourierspektrum,
wenn wir also im Ortsraum ein Signal
g
(
x
) mit einer Kammfunktion
III(
τ
) multiplizieren? Die Antwort erhalten wir uber die Faltungseigen-
schaft der Fouriertransformation (Gl. 13.26): Das Produkt zweier Funk-
tionen in einem Raum (entweder im Orts- oder im Spektralraum) ent-
spricht einer linearen Faltung im jeweils anderen Raum, d. h.
τ
III
2
π
ω
.
III(
τ
)
g
(
x
)
·
G
(
ω
)
∗
(13.40)
Nun ist das Fourierspektrum der Abtastfunktion wiederum eine Kamm-
funktion und besteht daher aus einer regelmaßigen Folge von Impulsen
(Abb.13.7). Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einem Impuls
δ
(
x
)
ergibt aber wiederum die ursprungliche Funktion, also
f
(
x
)
∗
δ
(
x
)=
f
(
x
).
Die Faltung mit einem um
d verschobenen
Impuls
δ
(
x
−
d
) reproduziert
