Digital Signal Processing Reference
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(moglicherweise unendliche) Summe von
”
harmonischen“ Sinusfunktio-
nen dargestellt werden kann in der Form
13
Einfuhrung in
Spektraltechniken
g
(
x
)=
∞
[
A
k
cos(
kω
0
x
)+
B
k
sin(
kω
0
x
)]
.
(13.15)
k
=0
Dies bezeichnet man als
Fourierreihe
und die konstanten Gewichte
A
k
,
B
k
als
Fourierkoe
zienten
der Funktion
g
(
x
). Die Frequenzen der in
der Fourierreihe beteiligten Funktionen sind ausschließlich ganzzahlige
Vielfache (
”
Harmonische“) der Grundfrequenz
ω
0
(einschließlich der Fre-
quenz 0 fur
k
=0).DieKoe
zienten
A
k
und
B
k
in Gl.13.15, die zunachst
unbekannt sind, konnen eindeutig aus der gegebenen Funktion
g
(
x
)be-
rechnet werden, ein Vorgang, der i. Allg. als
Fourieranalyse
bezeichnet
wird.
13.1.3 Fourierintegral
Fourier wollte dieses Konzept nicht auf periodische Funktionen be-
schranken und postulierte, dass auch
nicht
periodische Funktionen in
ahnlicher Weise als Summen von Sinus- und Kosinusfunktionen darge-
stellt werden konnen. Dies ist zwar grundsatzlich moglich, erfordert je-
doch - uber die Vielfachen der Grundfrequenz (
kω
0
) hinaus - i. Allg.
unendlich viele, dicht aneinander liegende Frequenzen! Die resultierende
Zerlegung
g
(
x
)=
∞
0
A
ω
cos(
ωx
)+
B
ω
sin(
ωx
)d
ω
(13.16)
nennt man ein
Fourierintegral
, wobei die Koe
zienten
A
ω
und
B
ω
in Gl.
13.16 wiederum die Gewichte fur die zugehorigen Kosinus- bzw. Sinus-
funktionen mit der Frequenz
ω
sind. Das Fourierintegral ist die Grund-
lage fur das
Fourierspektrum
und die
Fouriertransformation
[12, S. 745].
Jeder der Koe
zienten
A
ω
und
B
ω
spezifiziert, mit welcher Ampli-
tude die zugehorige Kosinus- bzw. Sinusfunktion der Frequenz
ω
zur
darzustellenden Signalfunktion
g
(
x
)beitragt. Was sind aber die richti-
gen Werte der Koe
zienten fur eine gegebene Funktion
g
(
x
) und konnen
diese eindeutig bestimmt werden? Die Antwort ist
ja
und das
”
Rezept“
zur Bestimmung der Koe
zienten ist erstaunlich einfach:
∞
A
ω
=
A
(
ω
)=
1
π
g
(
x
)
·
cos(
ωx
)d
x
(13.17)
−∞
∞
B
ω
=
B
(
ω
)=
1
π
g
(
x
)
·
sin(
ωx
)d
x
−∞
Da unendlich viele, kontinuierliche Frequenzwerte
ω
auftreten konnen,
sind die Koe
zientenfunktionen
A
(
ω
) und
B
(
ω
) ebenfalls kontinuierlich.
Sie enthalten eine Verteilung - also das
”
Spektrum“ - der im ursprung-
lichen Signal enthaltenen Frequenzkomponenten.
