Digital Signal Processing Reference
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z
=
e
i
θ
=cos(
θ
)+i
·
sin(
θ
)
(13.10)
13.1
Die
Fouriertransformation
2
.
71828 ist die Euler'sche Zahl). Betrachten wir den Ausdruck
e
i
θ
als Funktion uber
θ
, dann ergibt sich ein
”
komplexwertiges Sinusoid“,
dessen reelle und imaginare Komponente einer Kosinusfunktion bzw. ei-
ner Sinusfunktion entspricht, d. h.
(
e
≈
e
i
θ
Re
{
}
=cos(
θ
)
(13.11)
e
i
θ
Im
{
}
=sin(
θ
)
Da
z
=
e
i
θ
auf dem Einheitskreis liegt, ist die
Amplitude
des komplexwer-
tigen Sinusoids
=
r
= 1. Wir konnen die Amplitude dieser Funktion
durch Multiplikation mit einem reellen Wert
a
|
z
|
≥
0verandern, d. h.
e
i
θ
e
i
θ
|
a
·
|
=
a
·|
|
=
a.
(13.12)
Die
Phase
eines komplexwertigen Sinusoids wird durch Addition ei-
nes Phasenwinkels bzw. durch Multiplikation mit einer komplexwertigen
Konstante
e
i
ϕ
am Einheitskreis verschoben,
e
i(
θ
+
ϕ
)
=
e
i
θ
e
i
ϕ
.
·
(13.13)
Zusammenfassend verandert die Multiplikation mit einem reellen Wert
nur die
Amplitude
der Sinusfunktion, eine Multiplikation mit einem kom-
plexen Wert am Einheitskreis verschiebt nur die
Phase
(ohne Anderung
der Amplitude) und die Multiplikation mit einem beliebigen komplexen
Wert verandert sowohl
Amplitude
wie auch die
Phase
der Funktion (s.
auch Anhang 1.2).
Die komplexe Notation ermoglicht es, Paare von Kosinus- und Si-
nusfunktionen cos(
ωx
)bzw.sin(
ωx
) mit identischer Frequenz
ω
in der
Form
e
i
θ
=
e
i
ωx
=cos(
ωx
)+i
·
sin(
ωx
)
(13.14)
in
einem
funktionalen Ausdruck zusammenzufassen. Wir kommen auf
diese Notation bei der Behandlung der Fouriertransformation in Abschn.
13.1.4 nochmals zuruck.
13.1.2 Fourierreihen als Darstellung periodischer Funktionen
Wie wir bereits in Gl. 13.8 gesehen haben, konnen sinusformige Funk-
tionen mit beliebiger Frequenz, Amplitude und Phasenlage als Summe
entsprechend gewichteter Kosinus- und Sinusfunktionen dargestellt wer-
den. Die Frage ist, ob auch andere, nicht sinusformige Funktionen durch
eine Summe von Kosinus- und Sinusfunktionenen zusammengesetzt wer-
den konnen. Die Antwort ist naturlich
ja
.EswarFourier
3
, der diese
Idee als Erster auf beliebige Funktionen erweiterte und zeigte, dass (bei-
nahe)
jede
periodische Funktion
g
(
x
) mit einer Grundfrequenz
ω
0
als
3
Jean Baptiste Joseph de Fourier (1768-1830).
