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einem Minimum an Formalismen auszukommen und daher auch fur Le-
ser ohne bisherigen Kontakt mit diesem Thema leicht zu
”
verdauen“
sein sollte. Wir beginnen mit der Darstellung eindimensionaler Signale
und erweitern dies auf zweidimensionale Signale (Bilder) im nachfolgen-
den Kap. 14. Abschließend widmet sich Kap. 15 kurz der diskreten Ko-
sinustransformation, einer Variante der Fouriertransformation, die vor
allem bei der Bildkompression haufig Verwendung findet.
13
Einfuhrung in
Spektraltechniken
13.1 Die Fouriertransformation
Das allgemeine Konzept von
”
Frequenzen“ und der Zerlegung von Schwin-
gungen in elementare,
”
harmonische“ Funktionen entstand ursprunglich
im Zusammenhang von Schall, Tonen und Musik. Dabei erscheint die
Idee, akustische Ereignisse auf der Basis
”
reiner“ Sinusfunktionen zu be-
schreiben, keineswegs unvernunftig, zumal Sinusschwingungen in naturli-
cher Weise bei jeder Form von Oszillation auftreten. Bevor wir aber
fortfahren, zunachst (als Auffrischung) die wichtigsten Begriffe im Zu-
sammenhang mit Sinus- und Kosinusfunktionen.
13.1.1 Sinus- und Kosinusfunktionen
Die bekannte Kosinusfunktion
f
(
x
)=cos(
x
)
(13.1)
hat den Wert eins am Ursprung (cos(0) = 1) und durchlauft bis zum
Punkt
x
=2
π
eine volle
Periode
(Abb. 13.1 (a)). Die Funktion ist daher
periodisch mit einer
Periodenlange T
=2
π
,d.h.
cos(
x
)=cos(
x
+2
π
)=cos(
x
+4
π
)=
···
=cos(
x
+
k
2
π
)
(13.2)
fur beliebige
k
. Das Gleiche gilt fur die entsprechende
Sinus
funktion
sin(
x
) mit dem Unterschied, dass deren Wert am Ursprung null ist
(sin(0) = 0).
∈
Z
Abbildung 13.1
Kosinus- und Sinusfunktion. Der Aus-
druck cos(
ωx
) beschreibt eine Kosi-
nusfunktion mit der Kreisfrequenz
ω
an der Position
x
. Die periodische
Funktion hat die Kreisfrequenz
ω
und
damit die Periode
T
=2
π/ω
.Fur
ω
= 1 ist die Periode
T
1
=2
π
(a),
fur
ω
= 3 ist sie
T
3
=2
π/
3
≈
2
.
0944 (b). Gleiches gilt fur sin(
ωx
).
sin(
x
)
cos(
x
)
sin(3
x
)
cos(3
x
)
2
π
1
1
0.5
0.5
x
x
4
2
2
4
4
2
2
4
0.5
0.5
1
1
(a)
(b)
