Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
7.2
Gradienten-basierte
Kantendetektion
f
(
u
)
f
(
u
)
Abbildung 7.3
Schatzung der ersten Ableitung bei
einer diskreten Funktion. Der An-
stieg der Geraden durch die beiden
Nachbarpunkte
f
(
u−
1) und
f
(
u
+1)
dient als Schatzung fur den Anstieg
der Tangente in
f
(
u
). Die Schatzung
gen¨ugtindenmeistenFallen als
grobe Naherung.
u−
1
u
u
+1
u−
1
u
u
+1
und
u
+1 legen und deren Anstieg berechnen:
df
du
(
u
)
f
(
u
+1)
− f
(
u−
1)
2
≈
·
f
(
u
+1)
1)
=0
.
5
−
f
(
u
−
(7.2)
Den gleichen Vorgang konnten wir naturlich auch in der vertikalen Rich-
tung, also entlang der Bildspalten, durchfuhren.
7.2.1 Partielle Ableitung und Gradient
Bei der Ableitung einer
mehr
dimensionalen Funktion entlang einer der
Koordinatenrichtungen spricht man von einer
partiellen
Ableitung, z. B.
∂I
∂u
(
u, v
)
∂I
∂v
(
u, v
)
und
(7.3)
fur die partiellen Ableitungen der Bildfunktion
I
(
u, v
) entlang der
u
-
bzw.
v
-Koordinate.
1
Den Vektor
∂I
∂u
(
u, v
)
∂I
∇
I
(
u, v
)=
(7.4)
∂v
(
u, v
)
bezeichnet man als
Gradientenvektor
oder kurz
Gradient
der Funktion
I
an der Stelle (
u, v
). Der Betrag des Gradienten
=
∂I
∂u
2
+
∂I
∂v
2
|∇
I
|
(7.5)
ist invariant unter Bilddrehungen und damit auch unabhangig von der
Orientierung der Bildstrukturen. Diese Eigenschaft ist fur die richtungs-
unabhangige (isotrope) Lokalisierung von Kanten wichtig und daher ist
|∇
I
|
auch die Grundlage vieler praktischer Kantendetektoren.
1
∂
ist der partielle Ableitungsoperator oder
”
del“-Operator.
