Digital Signal Processing Reference
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Bild
I
mit dem Filterkern
H
falten oder umgekehrt - beide Funktionen
konnen gleichberechtigt und austauschbar dieselbe Rolle einnehmen.
6.3
Formale Eigenschaften
linearer Filter
Linearitat
Lineare Filter tragen diese Bezeichnung aufgrund der Linearitatseigen-
schaften der Faltung. Wenn wir z. B. ein Bild mit einer skalaren Kon-
stante
a
multiplizieren, dann multipliziert sich auch das Faltungsergebnis
mit demselben Faktor, d. h.
H
)
.
(6.18)
Weiterhin, wenn wir zwei Bilder Pixel-weise addieren und nachfolgend
die Summe einem Filter unterziehen, dann wurde dasselbe Ergebnis er-
zielt, wenn wir beide Bilder vorher getrennt filtern und erst danach ad-
dieren:
(
a
·
I
)
∗
H
=
I
∗
(
a
·
H
)=
a
·
(
I
∗
H
)
.
(6.19)
Es mag in diesem Zusammenhang uberraschen, dass die Addition einer
Konstanten
b
zu einem Bild das Ergebnis eines linearen Filters
nicht
im
gleichen Ausmaß erhoht, also
(
b
+
I
)
(
I
1
+
I
2
)
∗
H
=
I
1
∗
H
)+(
I
2
∗
∗
H
=
b
+(
I
∗
H
)
,
(6.20)
und ist also nicht Teil der Linearitatseigenschaft. Die Linearitat von
Filtern ist vor allem ein wichtiges theoretisches Konzept. In der Pra-
xis sind jedoch viele Filteroperationen in ihrer Linearitat eingeschrankt,
z. B. durch Rundungsfehler oder durch die nichtlineare Begrenzung von
Ergebniswerten (Clamping).
Assoziativitat
Die lineare Faltung ist assoziativ, d. h., die Reihenfolge von nacheinander
ausgefuhrten Filteroperationen ist ohne Belang:
A
C
(6.21)
Man kann daher bei mehreren aufeinander folgenden Filtern die Rei-
henfolge beliebig verandern und auch mehrere Filter beliebig zu neuen
Filtern zusammenfassen.
∗
(
B
∗
C
)=(
A
∗
B
)
∗
6.3.3 Separierbarkeit von Filtern
Eine unmittelbare Konsequenz aus Gl. 6.21 ist die Moglichkeit, einen
Filterkern
H
als Faltungsprodukt von zwei oder mehr - und moglicher-
weise kleineren - Faltungskernen
H
1
,H
2
,...,H
n
zu beschreiben, sodass
H
=
H
1
∗
H
2
∗
...
∗
H
n
. In diesem Fall kann die Filteroperation
I
∗
H
,
mit einem
”
großen“ Filter
H
, als Folge
”
kleinerer“ Filteroperationen
I
H
n
) (6.22)
durchgefuhrt werden, was i. Allg. erheblich weniger Rechenaufwand er-
fordert.
∗
H
=
I
∗
(
H
1
∗
H
2
∗
...
∗
H
n
)=(
...
((
I
∗
H
1
)
∗
H
2
)
∗
...
∗
