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Das wiederum ist genau das lineare Filter aus Gl. 6.6, außer, dass die
Filterfunktion
H
(
6
Filter
j
) horizontal und vertikal gespiegelt (bzw. um
180
◦
gedreht) ist. Um genau zu sein, beschreibt die Operation in Gl.
6.6 eigentlich eine lineare Korrelation (
correlation
), was aber identisch
ist zur linearen Faltung (
convolution
), abgesehen von der gespiegelten
Filtermatrix.
3
Die mathematische Operation hinter
allen
linearen Filtern ist also die
lineare Faltung (
−
i,
−
) und das Ergebnis ist vollstandig und ausschließlich
durch den Faltungskern (die Filtermatrix)
H
definiert. Um das zu illu-
strieren, beschreibt man die Faltung haufig als
”
Black Box“-Operation
(Abb. 6.9).
∗
I
(
u, v
)
I
(
u, v
)
Abbildung 6.9
Faltung als
”
Black Box“-Operation.
Das Originalbild
I
durchlauft
eine lineare Faltungsoperation
(
∗
) mit dem Faltungskern
H
und erzeugt das Ergebnis
I
.
H
(
i, j
)
6.3.2 Eigenschaften der linearen Faltung
Die Bedeutung der linearen Faltung basiert auf ihren einfachen mathe-
matischen Eigenschaften und ihren vielfaltigen Anwendungen und Er-
scheinungsformen. Wie wir in Kap. 13 zeigen, besteht sogar eine naht-
lose Beziehung zur Fourieranalyse und den zugehorigen Methoden im
Frequenzbereich. Zunachst aber einige Eigenschaften der linearen Fal-
tung im
”
Ortsraum“.
Kommutativitat
Die lineare Faltungsoperation ist
kommutativ
,d.h.
I
∗
H
=
H
∗
I,
(6.17)
man erhalt also dasselbe Ergebnis, wenn man das Bild und die Filter-
funktion vertauscht. Es macht daher keinen Unterschied, ob wir das
3
Das gilt naturlich auch im eindimensionalen Fall. Die lineare Korrelation
wird u. a. haufig zum Vergleichen von Bildmustern verwendet (s. Abschn.
17.1).
