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beinhaltet die Lösung eines Variationsproblems und liefert die Extremwert-
bedingung (Extremwert gleich Maximum, da zweite Ableitung negativ!):
−
ln
f
(
x
)
−
1
−
λ
1
ln
2=0
.
Daraus folgt
f
(
x
)=
e
−
(1+
λ
1
ln 2)
=
const
.
Dieses Ergebnis bedeutet, dass die
Gleichverteilung
den Maximalwert der
Entropie ergibt.
2. Für das
leistungsbegrenzte Signal
erhält man durch die zusätzliche Ne-
benbedingung
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
=
P
−∞
in analoger Weise wie oben:
λ
1
ln
2
−
(
λ
2
ln
2)
x
2
=0
.
−
ln
f
(
x
)
−
1
−
Daraus folgt
f
(
x
)=
e
−
(1+
λ
1
ln 2)
e
−
(
λ
2
ln 2)
x
2
.
Indem dieser Ausdruck in die beiden Nebenbedingungen eingesetzt wird,
können mit Hilfe bekannter Integralformeln für
e
−
(
λ
2
ln 2)
x
2
die Unbekannten
λ
1
und
λ
2
bestimmt werden und man erhält schließlich
1
√
2
πP
e
−
x
2
f
(
x
)=
2
P
.
Dieses Ergebnis zeigt, dass bei leistungsbegrenzten Signalen die
Normal-
verteilung
zum Entropiemaximum führt.
Zum Vergleich wollen wir jetzt noch die Entropie bei
Gleichverteilung leis-
tungsbegrenzter Signale
(
H
GV
) berechnen:
Für
f
(
x
)=
2
a
mit
−
a
≤
x
≤
a
wird die mittlere Leistung
a
a
1
2
a
a
2
3
x
2
f
(
x
)
d
x
=
x
2
d
x
=
P
=
.
−a
−a
Setzt man
a
=
√
3
P
in Gl. (2.22) ein, so ergibt sich eine Entropie
H
GV
=
ld
(2
a
)=
1
2
ld
(12
P
)
.
