Cryptography Reference
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8.5.4
REED-SOLOMON-Kodes
Definition 8.5.5
Ein RS-Kode ist ein
nichtbinärer
zyklischer Kode, bei
dem die Koe
zienten der Kodepolynome Elemente eines Grundkörpers
GF
(
q
)=
GF
(2
k
1
)
sind, der durch ein primitives Modularpolynom
M
(
x
)
über
GF
(2)
erzeugt wird.
Für
q
kann eine Primzahl oder Primzahlpotenz stehen. Wegen der optimalen
binären Darstellungsmöglichkeit benutzt man in der Praxis Körper zur Basis
Zwei, d. h., jedes nichtbinäre Element
α
i
über
GF
(2
k
1
)
kann durch die
k
1
bi-
nären Koe
zienten des Polynomrestes
α
i
mod
M
(
x
)
dargestellt werden.
Das Generatorpolynom hängt von einem primitiven Modularpolynom
M
(
x
)
und einem beliebig wählbaren Minimalabstand
d
min
ab.
Für die Bildung des Generatorpolynoms werden folgende Zusammenhänge vo-
rausgesetzt (s. a. Abschn. 8.5.1):
1. Auf der Grundlage des primitiven Modularpolynoms
M
(
x
)
vom Grad
k
1
ist
der Grundkörper
GF
(2
)=
{
0
,
1
,α
1
,α
2
, ..., α
2
k
1
−
2
}
k
1
definiert.
k
1
)
hat ein Minimalpolynom
m
i
(
x
)
nur
α
i
als
2. Bei einem Grundkörper
GF
(2
Nullstelle:
m
i
(
x
)=(
x
+
α
i
)
.
3. Das Generatorpolynom
g
(
x
)
hat die
Aufeinanderfolge von
α
μ
,α
μ
+1
,α
μ
+2
, ..., α
μ
+
d
min
−
2
als
Nullstellen
, so auch die Kanalkodewörter
a
i
∈
A
.
Damit ein RS-Kode
die
aufeinanderfolgenden Elemente
α
i
(
i
=
μ, μ
+1
, ...,
μ
+
d
min
−
2)
als Nullstellen enthält, ist
g
(
x
)
ein Produkt von Minimalpolyno-
men:
μ
+
d
min
−
2
μ
+
d
min
−
2
(
x
+
α
i
g
(
x
)=
m
i
(
x
)=
)
.
(8.33)
i
=
μ
i
=
μ
Da sowohl die Koe
zienten als auch die Nullstellen der Kodepolynome im
Grundkörper
GF
(2
k
1
)
definiert sind, hat das Generatorpolynom auch nur die-
se geforderten Nullstellen. Es gibt keine konjugierten Zusammenhänge von
α
i
.
Der wählbare Minimalabstand ist auch der tatsächliche Abstand (vergleiche
mit dem Entwurfsabstand bei BCH-Kodes, Abschn. 8.5.3).
Vergleichbar mit BCH-Kodes ist
μ
eine beliebig wählbare ganze Zahl. Die Wahl
von
μ
beeinflusst allerdings nicht den gewählten Minimalabstand. Auch der
