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8.4.3 Erweiterte HAMMING-Kodes
Eine Erhöhung des Minimalabstandes auf
d
min
=4
wird erreicht, wenn jedem
Kanalkodewort ein weiteres Kontrollelement
k
0
(Paritätselement, s. Abschn.
8.2.1.2) hinzugefügt wird. Diese Erweiterung erzeugt einen
Kanalkode mit Ka-
nalkodewörtern geradzahligen Gewichts
. Die Anzahl der Kontrollelemente be-
trägt damit
k
+1
, die Anzahl der Informationselemente
l
bleibt unverändert.
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Beispiel 8.4.4
Es ist die Kontrollmatrix
H
für einen erweiterten HAMMING-Kode zu bestim-
men, wenn
l
=4
ist.
1. Schritt:
Berechnung von
k
für
d
min
=3
Gemäß Gl. (8.12) ist
i
=0
4+
i
=
ld
4+
k
+
4+
k
1
=
ld
(1 + 4 +
k
)
.
1
k ≥
ld
0
Diese Ungleichung ist für
k
=3
mit Gleichheit erfüllt.
2. Schritt:
Bestimmung von
n
für
d
min
=3
n
=4+3=7=2
3
−
1
, d. h., es wird ein dichtgepackter Kanalkode erzeugt.
3. Schritt:
Konstruktion der Kontrollmatrix
H
für
d
min
=3
n
7
n
6
1
1
l
3
n
5
1
0
l
2
n
4
1
0
k
3
n
3
0
1
l
1
n
2
0
1
k
2
n
1
0
0
1
1
1
l
4
H
3
×
7
=
−→
(7
,
4
,
3)
HAMMING-Kode
k
1
4. Schritt:
Aufstellen der Kontrollmatrix
H
für
d
min
=4
durch Hinzufügen
einer zusätzlichen Bestimmungsgleichung für die Paritätskontrolle
n
7
n
6
1
1
0
l
3
n
5
1
0
1
l
2
n
4
1
0
0
k
3
n
3
0
1
1
l
1
n
2
0
1
0
k
2
n
1
0
0
1
k
1
n
0
0
0
0
1
⎛
⎞
1
1
1
l
4
⎝
⎠
H
4
×
8
=
−→
(8
,
4
,
4)
HAMMING-Kode
k
0
Bestimmungsgleichungen:
Kontrollgleichungen:
n
4
=
k
3
=
l
4
⊕ l
3
⊕ l
2
s
3
=
n
7
⊕ n
6
⊕ n
5
⊕ n
4
n
2
=
k
2
=
l
4
⊕ l
3
⊕ l
1
s
2
=
n
7
⊕ n
6
⊕ n
3
⊕ n
2
n
1
=
k
1
=
l
4
⊕ l
2
⊕ l
1
s
1
=
n
7
⊕ n
5
⊕ n
3
⊕ n
1
n
0
=
k
0
=
l
4
⊕ l
3
⊕ l
2
⊕ k
3
⊕
s
0
=
n
7
⊕ n
6
⊕ n
5
⊕ n
4
⊕
⊕l
1
⊕ k
2
⊕ k
1
⊕n
3
⊕ n
2
⊕ n
1
⊕ n
0
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Diese Ausführungen gelten uneingeschränkt auch für die Erweiterung von verkürzten
HAMMING-Kodes.
