Cryptography Reference
In-Depth Information
Entsprechend den Ausführungen zu Gl. (8.10) ist
f
e
=2
und
f
k
=1
für
d
min
=4
.
Der erweiterte HAMMING-Kode ist also in der Lage, mit Sicher-
heit alle zweifachen Fehler zu erkennen
und
alle einfachen Fehler richtig zu
korrigieren. Empfangene Binärfolgen, die drei oder mehr fehlerhafte Elemente
enthalten, werden entweder nicht mit Sicherheit erkannt oder in ein anderes
als das gesendete Kanalkodewort korrigiert.
Der Kanaldekodierer wertet dazu folgende Zusammenhänge aus, wobei
s
auf
der Grundlage der Kontrollmatrix
H
für
d
min
=3
gebildet wird und
s
0
das
Ergebnis der Prüfung der zusätzlichen Paritätskontrolle ist:
1.
s
=
0
,s
0
=0
Die Empfangsfolge ist ein Kanalkodewort (oder das Fehlermuster hat die Struk-
tur eines Kanalkodeworts).
2.
s
=
0
,s
0
=1
Die Empfangsfolge ist im Paritätselement fehlerhaft.
3.
s
=
0
,s
0
=0
Die Empfangsfolge enthält eine gerade Anzahl fehlerhafter Elemente, die aber
nicht lokalisierbar sind. Es kommt zu Rekonstruktionsversagen.
4.
s
=
0
,s
0
=1
Die Empfangsfolge enthält eine ungerade Anzahl von fehlerhaften Elementen.
Es erfolgt die Korrektur desjenigen Elements, das durch das Fehlersyndrom
s
in dualer Form angegeben ist. Das Rekonstruktionsergebnis ist nur für Ein-
fachfehler korrekt.
Beispiel 8.4.5
Ein Dekodierer, der mit einem Kanalkode gemäß Beispiel 8.4.4 arbeitet, emp-
fängt die Binärfolgen
a)
b
1
=(10100101)
, c)
b
3
=(11000101)
,
b)
b
2
=(01111010)
, )
b
4
=(10101011)
.
Es ist zu prüfen, ob diese Folgen Kanalkodewörter sind. Gegebenenfalls sind
Korrekturen durchzuführen.
Lösung:
a) Für
b
1
ergeben die Kontrollgleichungen
s
3
,s
2
,s
1
, siehe Beispiel 8.4.4, das
Syndrom
s
=
0
. Die zusätzliche Kontrollgleichung liefert das Ergebnis
s
0
=0
.
Damit ist
b
1
ein Kanalkodewort und
b
1
=(1010)
.
b) Für die Empfangsfolge
b
2
ist das Fehlersyndrom
s
=(101)
T
.Dadiezusätz-
liche Kontrollgleichung
s
0
=1
ergibt, liegt ein korrigierbarer Fehler vor. Die
Empfangsfolge
b
2
wird durch Korrektur des Elements
n
5
zum Kanalkodewort
b
2
,korr
=(01011010)
und damit
b
2
=(0101)
.
