Cryptography Reference
In-Depth Information
Dabei bezeichnet »
X
∈
A, Y
∈
B
« das Ereignis
{
a
∈
Ω
|
X
(
a
)
∈
A, Y
(
a
)
∈
B
}
=
X
−
1
(
A
)
∩ Y
−
1
(
B
)
.
Ein nützliches Lemma im Umgang mit unabhängigen Zufallsvariablen ist das folgende.
Der Beweis soll in Aufgabe 3.7.6 geführt werden.
Lemma 3.3.6.
Es seien
X
:
Ω →X
1
und
Y
:
Ω
→X
2
zwei stochastisch unabhängige Zu-
fallsvariablen über dem Wahrscheinlichkeitsraum
(
Ω,
S
,P
)
. Weiter sei
f
:
X
2
→X
3
eine
Abbildung. Dann ist
f
(
Y
)
, d.h., die Abbildung von
Ω
nach
X
3
mit
f
(
Y
)(
a
)=
f
(
Y
(
a
))
für alle
a ∈ Ω
, eine Zufallsvariable über
(
Ω,S,P
)
,dievon
X
stochastisch unabhäng
ig
ist.
Für eine reelle Zufallsvariable
X
ist der
Erwartungswert
Exp (
X
)
von
X
definiert als
Exp (
X
)=
x∈X
x
·
P
(
X
=
x
)
,
sofern der Grenzwert existiert.
Lemma 3.3.7.
1. Es seien
X
und
Y
reelle Zufallsvariablen. Dann gilt:
Exp (
X
+
Y
)=Exp(
X
)+Exp(
Y
)
.
2. Es seien
X
eine reelle Zufallsvariable und
c
eine reelle Zahl. Dann gilt:
Exp (
c
·
X
)=
c
·
Exp (
X
)
.
3. Es seien
X
und
Y
unabhängige, reelle Zufallsvariablen. Dann gilt:
Exp (
X · Y
)=Exp(
X
)
·
Exp (
Y
)
.
Wir werden in diesem Buch nicht immer explizit ein Symbol für eine spezielle Wahr-
scheinlichkeitsverteilung einführen, sondern stattdessen ein »universelles« Symbol verwen-
den, nämlich
Prob
, welches sich auf verschiedene Wahrscheinlichkeitsräume beziehen
kann. Welcher Wahrscheinlichkeitsraum gemeint ist, ergibt sich dann aus der Beschrei-
bung des Ereignisses bzw. dem den verwendeten Zufallsvariablen zugrunde liegenden
Wahrscheinlichkeitsraum.
Falls
S
eine endliche Menge ist, so schreiben wir
X
r
{·}
← S
, um zu sagen, dass
X
eine
Zufallsvariable ist, die ein zufällig gewähltes Element aus
S
zurückliefert. Es soll also
Prob
{X
=
s}
=1
/|S|
für alle
s ∈ S
gelten. Wir schreiben auch kurz
Prob
X ←S
{
X
=
s
}
und
Prob
X ←S
{
X
∈
B
}
,wobei
X
gemäß
X
r
für
Prob
{X
=
s}
← S
definiert ist. Diese Schreib-
weise kann auch auf mehrere Zufallsvariablen erweitert werden. Für endliche Mengen
S
bzw.
Prob
{X ∈ B}
