Cryptography Reference
In-Depth Information
kurz wiederholen. Diese können auch in Lehrbüchern zur Einführung in die Wahrschein-
lichkeitstheorie nachgelesen werden (siehe, z. B., [114]).
Wahrscheinlichkeitsräume und Wahrscheinlichkeiten
Ein
Wahrscheinlichkeitsraum
ist ein Tripel
(
Ω,
S
,P
)
bestehend aus einer nicht leeren
von Teilmengen von
Ω
,die
Ereignisse
genannt
werden, und einer Funktion
P
:
S→
[0
,
1]
,die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
genannt
wird. Dabei muss
Menge
Ω
von
Ergebnissen
, einer Menge
S
S
die folgenden Bedingungen erfüllen:
1.
Ω ∈S
,
2.
Ω
\
A
∈S
für jedes
A
∈S
,
3.
i
=0
A
i
∈S
für jede Folge
A
0
,
A
1
,
A
2
,... vonElementenvon
S
.
Außerdem muss für
P
gelten:
4.
P
(
Ω
)=1
,
5.
P
(
i
=0
A
i
)=
i
=0
P
(
A
i
)
für jede Folge
A
0
,
A
1
,
A
2
, . . . von paarweise disjunkten
Elementen von
.
Die letzte Eigenschaft für
S
wird
σ
-Additivität
genannt. Ein Paar
(
Ω,S
)
wird als
σ
-
Algebra
bezeichnet, wenn die Bedingungen 1. bis 3. erfüllt sind. Man beachte, dass auf-
grund der zweiten und dritten Bedingung an
S
auch jeder abzählbare Durchschnitt von
Ereignissen wieder
ein
Ereignis ist. Für ein Ereignis
A ∈S
S
bezeichnet man sein
Gegen-
ereignis
Ω
A
mit
A
.DerWert
P
(
A
)
heißt
Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses
A
oder
auch
Wahrscheinlichkeit
, mit der das Ereignis
A
eintritt.
Offensichtlich gilt:
\
P
(
A
)=1
−
P
(
A
)
,
denn
1=
P
(
Ω
)=
P
(
A
A
)=
P
(
A
)+
P
(
A
)
.
In diesem Buch werden wir meist solche Wahrscheinlichkeitsräume betrachten, in de-
nen
Ω
endlich und
∪
S
die Potenzmenge
2
Ω
von
Ω
ist. Dann ergibt sich für jedes
A ⊆ Ω
:
P
(
A
)=
a∈A
P
(
)
. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
P
ist demnach eindeutig be-
stimmt durch die sogenannte
Wahrscheinlichkeitsfunkion
a
{
a
}
)
. Diese Funktion
wird häufig auch mit
P
bezeichnet, d. h., man schreibt einfach
P
(
a
)
anstelle von
P
(
{a}
)
.
Wenn man in diesem Zusammenhang von einer
Gleichverteilung
auf einer endlichen,
nicht leeren Menge
Ω
spricht, dann ist der Wahrscheinlichkeitsraum gemeint, der durch
(
Ω,
2
Ω
,P
)
mit
P
(
a
)=
1
|Ω|
→
P
(
{
a
}
Ω
definiert ist.
Wir werden später folgendes Lemma benötigen.
für jedes
a
∈
Lemma 3.3.1.
Es sei
(
Ω,S,P
)
ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter seien
A ∈S
und
B
∈S
Ereignisse. Dann gilt:
P
(
A ∩ B
)
≥ P
(
A
)
− P
(
B
)
.
(3.3.1)
Beweis.
Die Behauptung folgt direkt aus:
P
(
A
)=
P
(
A ∩ B
)+
P
(
A ∩
B
)
≤ P
(
B
)+
P
(
A ∩ B
)
,
