Cryptography Reference
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wobei wir die Monotonie von Wahrscheinlichkeitsmaßen nutzen: Gilt
A
⊆
B
für
A, B
∈S
,
so auch
P
(
A
)
≤ P
(
B
)
.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum
(
Ω,
mit positiver Wahr-
scheinlichkeit, also
P
(
B
)
>
0
, gegeben. Häufig stellt man sich die Frage, mit welcher
Wahrscheinlichkeit Ereignisse eintreten, wenn man das Eintreten von
B
voraussetzt. Die-
se Frage führt dann in natürlicher Weise zur Definition einer neuen Wahrscheinlichkeits-
verteilung
P
auf der gegebenen
σ
-Algebra:
S
,P
)
und ein Ereignis
B
∈S
P
(
A
)=
P
(
A
∩
B
)
P
(
B
)
für
A
∈S
.
(3.3.2)
Die neue Verteilung wird
bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung
bei gegebenem
B
ge-
nannt und anstelle von
P
(
A
)
schreibt man
P
(
A
B
)
. Diesen Wert nennt man auch die
bedingte Wahrscheinlichkeit
von
A
bei gegebenem
B
oder die Wahrscheinlichkeit von
A
unter der Bedingung
B
. Man sieht leicht, dass
(
Ω,
|
,P
)
tatsächlich ein Wahrscheinlich-
S
keitsraum ist (siehe Aufgabe 3.7.5).
Wichtig ist in diesem Zusammenhang die folgende Formel, die wir in Form eines Lem-
mas festhalten wollen.
Lemma
3
.3.2 (Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit).
Es sei
B
ein Ereignis mit
P
(
B
)
,P
(
B
)
>
0
.Danngilt
P
(
A
)=
P
(
A
|
B
)
P
(
B
)+
P
(
A
|
B
)
P
(
B
)
(3.3.3)
für jedes Ereignis
A
.
Analog gilt für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
Lemma 3.3.3.
Es seien
A
,
B
und
C
Ereignisse mit
P
(
B
∩
C
)
,P
(
B
∩
C
)
>
0
.Dann
gilt:
P
(
A
|
C
)=
P
(
A
C
)
=
P
(
A | B ∩ C
)
· P
(
B | C
)+
P
(
A | B ∩ C
)
· P
(
B | C
)
.
∩
B
|
C
)+
P
(
A
∩
B
|
Das Geburtstagsphänomen
An verschiedenen Stellen im Buch wird auch das sogenannte
Geburtstagsparadoxon
oder
Geburtstagsphänomen
von Bedeutung sein. Dazu zunächst folgende Definition.
Definition 3.3.1 (Kollisionswahrscheinlichkeit). Es seien
q
und
N
positive natürliche
Zahlen. Mit Cll
(
q,N
)
wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet, dass beim
q
-
fachen Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit
N
Kugeln mindestens zweimal dieselbe
Kugel gezogen wird.
