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Schritt die gewünschte Drehung mit dem Winkel
®
durchgeführt werden. Von den
elementaren Rotationstransformationen kommt wieder
[R
z
;®
]
zum Einsatz, diesmal
mit dem Winkel
®
.
Die bisherigen einzelnen Transformationen kann man alle zusammenfassen zu einer
einzigen Transformationsmatrix, doch damit ist die Aufgabe noch nicht erledigt. Da
sich die Drehung um die Rotationsachse ja auf die ursprünglichen Achsen beziehen
soll, müssen diese wieder in der rückwärtigen Reihenfolge zurückgedreht werden.
Hierzu sind im fünften Schritt die inversen Transformationsmatrizen erforderlich,
mit denen in rückwärtiger Reihenfolge die ursprünglichen Achsen wieder rekon-
struiert werden. Die vollständige Transformation zur Drehung um eine beliebige
Achse lautet dann (ohne die Verschiebung in den/vom Ursprung):
[T
Rot
]
D
[R
z
;”
]
Œ
R
x
;'
]
Œ
R
z
;®
]
Œ
R
x
;'
]
1
Œ
R
z
;”
]
1
Formal ist noch eine Vereinfachung möglich, indem die ersten beiden Transforma-
tionen zu einer Hilfsmatrix
[H]
D
[R
z
;”
]
Œ
R
x
;'
]
zusammenfasst werden. Gewonnen
ist damit nicht viel, denn leider geht der einfache Aufbau der Transformationsma-
trizen in
[H]
verloren. Auch
[H]
1
würde man besser aus der Multiplikation der
Inversen bilden, anstatt
[H]
1
durch Inversion zu ermitteln.
[H]
1
D
[R
x
;'
]
1
Œ
R
z
;”
]
1
Bei dem speziellen Aufbau der Transformationsmatrizen ist es meistens zweckmä-
ßig, die Matrizenmultiplikationen mit jeder Matrix einzeln vorzunehmen.
Die Rotation um eine beliebige Achse im Raum artet nach obigem Rezept in
erheblichen Aufwand aus und hat überdies den Nachteil, dass die Reihenfolge der
ausgeführten Rotationen eine große Rolle spielt. So liefert die Rotation von 30
ı
um
die x-Achse und 50
ı
um die y-Achse ein anderes Ergebnis als 50
ı
um Y gefolgt von
30
ı
um X. Dies ist unmittelbar verständlich, denn die Matrixmultiplikation ist im
Allgemeinen nicht kommutativ. Wenn eine gegebene Rotationsmatrix das Ergebnis
mehrerer hintereinander ausgeführter Rotationen ist, kann man auf den Ursprung
der Ausgangsmatrix nicht mehr schließen.
7.2.7 Drehung um eine beliebige Achse II
Bei animierter Computergrafik bilden wiederholte Drehungen um beliebige Achsen
einen Schwachpunkt im gesamten Programmablauf. Nicht nur, dass eine Vielzahl
von Transformationsmatrizen zu bilden sind und auf die richtige Abfolge der Mul-
tiplikationen zu achten ist, kann es auch passieren, dass die Szene plötzlich nicht
