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für die Schnittkoordinaten
.
P
1
/ C f
d
3
gD.
S
/ œ f
d
2
g
diese Vektorgleichung in Y-Z-Koordinaten
I
:
P
1y
C
d
3y
D
S
y
œ
d
2y
II
:
P
1z
C
d
3z
D
S
z
œ
d
2z
œ
aufgelöst nach
und
D Œ
d
2z
.
S
y
P
1y
/
d
2y
.
S
z
P
1z
/=2
F
œ D Œ
d
3y
.
S
z
P
1z
/
d
3z
.
S
y
P
1y
/=2
F
Der Nenner 2F ist die doppelte Dreiecksfläche, siehe Abschn.
11.3.5
. Die beiden
Faktoren
œ
und
legen die Längen der Vektoren
f
v
j
g
fest, die zum Schnittpunkt
S
führen. Zugleich geben sie Auskunft über die Lage des Schnittpunkts auf der
Dreiecksebene:
œ>0;
S liegt rechts von Vektor
f
d
2
gD
P
1
!
P
3
>0;
S liegt oberhalb von Vektor
f
d
3
gD
P
1
!
P
2
œ C 1;
S liegt links von
P
2
!
P
3
Sind alle drei Bedingungen erfüllt, liegt S innerhalb des Dreiecks. Bei
œ D 0
oder
D 0
liegt der Schnittpunkt in P
1
,
œ D 1
Schnittpunkt in P
3
,
D 1
Schnittpunkt
in P
2
.
Va r i an t e 2
Eine Ebene ist ebenfalls eindeutig bestimmt durch zwei unabhängige Richtungen
und ein Punkt, hier z. B. P
1
, der auf der Ebene liegt
!
Punkt-Richtungsgleichung:
f
s
gDf
P
1
gC f
P
2
P
1
gCœ f
P
3
P
1
g
Anstatt der allgemeinen Koordinaten setzen wir gleich die Schnittkoordinaten
f
s
g
für den Schnittpunkt
S
an. Die zwei noch unbekannten Konstanten
und
œ
sind
jeweils Vielfache der Steigungen in den beiden Richtungen.
Die Gleichung der Geraden hat die gleichen Schnittkoordinaten
f
s
gDf
M
gC
t
f
d
g
Der Faktor t bestimmt wieder die Länge der Geraden. Beide Schnittkoordinaten
gleichgesetzt und die Gleichung ein wenig umgestellt führt zu
f
P
2
P
1
g Cf
P
3
P
1
gœ f
d
g
t
Df
M
gf
P
1
g
