Civil Engineering Reference
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then the equation of motion is given by
§
2
·
ª
º
c
10
2
ωζ
−
h
−
h
ω
−
h
0
ª º
ª
º
ª
º
ª º
zz
1
2
z
3
z
2
¨
¸
λ
+
λ
+
«
»
«
=
«
»
»
« »
« »
r
r
( )
c
exp
i
¨
01
−
a
2
ωζ
−
a
2
¸
⋅
−
ψ
0
0
a
¬ ¼
¬
¼
«
ω
−
»
¬ ¼
¬
¼
1
2
¬
¼
θ
r
©
θθ
¹
3
θ
(C.19)
( )
Introducing
exp
i
cos
i
sin
−= −⋅
ψ
ψ
ψ
r
r
r
{
}
ª
2
(
)
2
(
)(
)
º
λ
+
2
ωζ
−
h
λ ω
+
c
−
h
λ
+
h
cos
ψ ψ
−
i
sin
c
0
0
r
z
z
1
r
z
z
2
r
3
r
r
ªº
θ
«
»
=
«»
(C.20)
{
}
(
«
»
¬¼
2
(
)
2
)
ac
2
a
a
cos
i c
sin
−
λ
+
λ
+
ζ
−
λ ω
+ −
ψ ψ
−
«
»
1
r z
r
θθ
2
r
θ
3
r
r
θ
¬
¼
(
)
(
)
2
2
2
i
12
i
and that
λ
=− + ⋅ and
ζ
ω
λ
=−−⋅
ζ
ζ ω
⋅
, then the following is
r
r
r
r
r
r
r
obtained:
ª
2
º
§
·
ωω
h
h
h
2
z
z
1
2
(
)
3
c
1
2
c
c
cos
sin
c
cos
ζ
−+ −
ζ ζ
+
ζ
+
ζ
ψ
−
ψ
−
ψ
«
¨
¸
»
z
r
z
r
z
r
r
r
r
r
¨
¸
θ
θ
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
«
»
©
¹
r
r
r
r
r
«
»
«
»
«
»
2
§
·
§
·
ωω
ω
«
2
»
θ
θ
θ
c
ζ
−+ −
1
2
ζ ζ
cos
ψ
+
2
c
ζ ζ
−
sin
ψ
+
¨
¸
¨
¸
r
r
r
r
r
θ
¨
θ
¸
θ
θ
2
«
ω
ω
»
ω
©
¹
©
¹
r
r
r
«
»
a
a
a
«
»
(
)
1
2
3
c
c
cos
sin
c
cos
ζ
+
ζ
ψ
−
ψ
−
ψ
«
¬
»
zr
r r
r
r
θ
θ
2
ω
ω
ω
¼
r
r
r
ª
º
§
ω
ζζ
·
h
h
h
z
1
2
(
)
3
2
c
c
c
sin
cos
c
sin
−
−
+
+
ζ ψ ψ
+
−
ψ
«
¨
¸
»
z
z
r
z
r
r
r
r
θ
θ
2
ω
ω
ω
ω
«
©
¹
»
r
r
r
r
«
»
ªº
0
«
»
«
»
»
»
i
«
2
»
−⋅
§
·
=
§
·
ωω
ω
«
2
θ
θ
θ
«
c
ζ
−+ −
1
2
ζ ζ
sin
ψ
−
2
c
ζ ζ
−
cos
ψ
+
»
¨
¸
¨
¸
r
r
r
r
r
θ
¨
θ
¸
θ
θ
«
0
2
ω
ω
ω
«
» ¬¼
©
¹
©
¹
r
r
r
«
»
a
a
a
«
»
(
)
1
2
3
c
c
sin
cos
c
sin
+
ζ
ψ ψ
+
−
ψ
«
z
θ
r
r
r
θ
r
»
2
ωω
ω
¬
¼
r
r
r
(C.21)
The tests comprise three different conditions of motion control. First the decay tests are
carried out with the physical constraint that
c
θ
=
0
. Under this testing condition the
imaginary part of Eq. C.21 is reduced to
