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This is the static and dynamic equilibrium conditions at element level. The element
stiffness, damping and mass matrices are defined in Eqs. 9.19 and 9.21. By introducing
the shape functions in Fig. 9.4 into Eqs. 9.4 and 9.14, then the following is obtained:
kk
⎡
⎤
11
12
T
kk
k
=
kk
where
(9.26)
⎢
⎥
21
12
⎣
⎦
21
22
and
2
⎡
⎤
EAN
′
0
0
0
0
0
1
⎢
⎥
2
0
EI N
′′
0
0
0
EI N N
′′
′′
⎢
⎥
z
2
z
2
6
⎢
⎥
2
0
0
EI N
0
EI N N
0
L
′′
′′
′′
⎢
⎥
y
3
y
3
5
k
∫
dx
=
⎢
⎥
11
2
0
0
0
GI N
0
0
′
⎢
⎥
0
t
4
⎢
⎥
2
0
0
EI N N
′′
′′
0
EI N
′′
0
⎢
⎥
y
53
y
5
⎢
⎥
2
0
EI N N
′′
′′
0
0
0
EI N
′′
⎣
⎦
z
62
z
6
(9.27)
EA L
0
0
0
0
0
⎡
⎤
⎢
⎥
3
2
0 2
EI
L
0
0
0
6
EI
L
⎢
⎥
z
z
⎢
⎥
3
2
0
0
12
EI
L
0
−
6
EI
L
0
⎢
⎥
y
y
=
⎢
⎥
0
0
0
GI
L
0
0
t
⎢
⎥
⎢
2
⎥
0
0
6
EI
L
0
4
EI
L
0
−
y
y
3
⎢
⎥
⎢
⎥
2
06
EI
L
0
0
0
4
EI
L
⎣
⎦
z
z
EAN N
′′
0
0
0
0
0
⎡
⎤
17
⎢
⎥
0
EI N N
′′
′′
0
0
0
EI N N
′′
′′
⎢
z
28
z
2 2
⎥
⎢
⎥
L
0
0
EI N N
′′
′′
0
EI N N
′′
′′
0
y
39
y
3 1
∫
⎢
⎥
dx
k
=
12
0
0
0
GI N N
′
′
0
0
⎢
⎥
t
4 0
0
⎢
⎥
0
0
EI N N
0
EI N N
0
′′
′′
′′
′′
⎢
⎥
y
59
y
5 1
⎢
⎥
0
EI N N
′′
′′
0
0
0
EI N N
′′
′′
⎣
⎦
z
68
z
6 2
(9.28)
−
EA L
0
0
0
0
0
⎡
⎤
⎢
⎥
3
2
0
12
EI
L
0
0
0
6
EI
L
−
⎢
⎥
z
z
⎢
⎥
3
2
0
0
12
EI
L
0
6
EI
L
0
−
−
⎢
⎥
y
y
=
⎢
⎥
0
0
0
−
GI
L
0
0
t
⎢
⎥
⎢
2
⎥
0
0
6
EI
L
0
2
EI
L
0
y
y
⎢
⎥
⎢
2
⎥
0
6
EI
L
0
0
0
2
EI
L
−
⎣
⎦
z
z
