Kurzzeit-Spektralanalyse: Grundlagen - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 56

Beispiel Klirrfaktormessung mit der DFT
Der enge Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation und der DFT kann im Fall
periodischer Signale dazu benutzt werden, mit der FFT die Koeffizienten der Fourier-Reihe
effizient zu bestimmen. Für die Praxis ergeben sich daraus wichtige Anwendungen. So lassen
sich mit kontinuierlicher Zustandserfassungen von Maschinen, z. B. von Antriebswellen und
Lagern, der Abnutzungsvorrat ausschöpfen und Maschinenschäden in der Entstehungsphase
erkennen. Ein anderes Anwendungsgebiet ergibt sich in Energieversorgungsunternehmen. Dort
ist der Leistungsanteil der Oberwellen im Spannungsversorgungsnetz eine Kenngröße für die
Versorgungsqualität. Gewisse Grenzwerte müssen überwacht und eventuell Gegenmaßnahmen
ergriffen werden. Schließlich spielt der Klirrfaktor auch in der Nachrichtentechnik, insbeson-
dere der Audiotechnik, eine große Rolle.
Die Klirrfaktor-Messung stellt das Beispiel in Bild 5-7 vor. Als Signal wird die mit einem
Einweggleichrichter gleichgerichtete sinusförmige Spannung in der normierten Form ver-
wendet [BSMM99]. Die Frequenz f 0 sei 50 Hz.

11 2 § c s(2) S ft c s(4) S ft c s(6) S ft ·

0 0 0

ut () sin 2 S f t

"

(5.20)

¨ ¸

0

S 2 S 1 3 3 5 5 7

©

Mit dem Klirrfaktor wird die Signalverzerrung
beim Durchgang durch ein nichtlineares Sys-
tem abgeschätzt. Der Klirrfaktor ist für Ein-
tonsignale definiert als das Verhältnis des
Effektivwerts der Harmonischen höherer Ord-
nung (Oberschwingungsgehalt) zum Effektiv-
wert des Signals ohne den Gleichanteil
((Gesamt-)Wechselanteil). Mit den Amplitu-
den der k -ten Harmonischen ˆ k

u ( t )

1

0

10 20 30

t in ms

Bild 5-7 Sinussignal nach Einweggleichrichtung

u gilt für den

Klirrfaktor

222
234
2222
1

uuu ˆ ˆ ˆ "

d

(5.21)

ˆ ˆ ˆ ˆ

uuuu "

2 3 4

Anmerkungen: (i) Der Formelbuchstabe d steht für die englische Bezeichnung Distortion. (ii) Der
Klirrfaktor ist ein relatives Maß. Skalierungsfaktoren kürzen sich. (iii) Manchmal sind Klirrfaktoren
spezieller Ordnungen von Interesse. Dann wird nur der Effektivwert der k -ten Harmonischen im Zähler in
(5.21) verwendet.
Der Klirrfaktor wird im Beispiel mit dem MATLAB-Programm im Programmbeispiel 5-1
bestimmt. Statt eines realen abgetasteten Signals werden zunächst die Abtastwerte einer Perio-
de generiert. Es schließt sich die DFT und die Auswertung der DFT-Koeffizienten an.
Das Programm erzeugt die Grafik in Bild 5-8 links. Um den Zusammenhang mit dem zugrunde
gelegten analogen Signal hervorzuheben, wird die Abszissenskalierung in Millisekunden (ms)
bzw. Hertz (Hz) vorgenommen. Die in Bild 5-8 rechts angezeigten Werte werden vom
Programm berechnet. Der Näherungswert für den Klirrfaktor beträgt d DFT-MATLAB | 0.4101. Im
Vergleich mit dem anhand der Fourier-Koeffizienten in (5.20) numerisch berechneten Wert
0.399076 zeigt sich ein relativer Fehler von ca. 2.8 %, siehe auch Aufgabe A5.2.