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3.2.2
Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation
Die DFT besitzt ähnliche Eigenschaften wie die Fourier-Transformation für Folgen, wie z. B.
die Symmetrie zwischen der Hin- und Rücktransformation. Wegen der periodisch zu denken-
den Folgen ergeben sich die speziellen Eigenschaften zur zyklischen Verschiebung und zykli-
schen Faltung. In Tabelle 3-2 sind einige wichtige Eigenschaften im Sinne einer Formelsam-
mlung zusammengestellt [Wer08b]. Einige davon werden später noch genauer erläutert und in
der Versuchsdurchführung verwendet. Für eine Herleitung oder ausführliche Diskussion wird
auf die Lehrbücher im Literaturverzeichnis verwiesen.
Tabelle 3-2
Sätze der diskreten Fourier-Transformation für Folgen der Länge
N
DFT
¦
¦
axn
[]
l
aXk
[]
(3.13)
Linearität
l
l
l
l
l
l
DFT
Zyklische Verschiebung
(3.14)
mk
N
x nm
[
]
l
w Xk
[ ]
DFT
Modulation
(
N
we
S
j
2/
N
(3.15)
)
nl
N
wxn
[]
l
Xkl
[
]
DFT
(3.16)
Spiegelung
x
[]
l
n
X
[]
k
DFT
(3.17)
Konjugiert komplexe Folge
*
*
x
[]
n
l
X
[ ]
k
N
DFT
(3.18)
Zyklische Faltung
x
[]*
nxn
[]
l
XkXk
[]
[]
1
2
1
2
DFT
N
1
x
[]
nxn
[]
l
Xk Xk
[]*
[]
(3.19)
Multiplikation
1
2
1
2
N
N
1
N
1
DFT
1
¦
2
¦
2
xn
[]
l
X k
[]
Parsevalsche Gleichung
(3.20)
N
n
0
k
0
Zuordnungsschema
e
: gerade (even)
o
: ungerade (odd)
r
: reell (real)
i
: imaginär (imaginary)
x
[
n
] =
x
er
[
n
] +
x
or
[
n
] +
j
(
x
ei
[
n
] +
x
oi
[
n
])
DFT
(3.21)
X
[
k
] =
X
er
[
k
] +
X
or
[
k
] +
j
(
X
ei
[
k
] +
X
oi
[
k
])
3.3
Vorbereitende Aufgaben
A3.1
Von zentraler Bedeutung für die Eigenschaften der DFT ist die
Orthogonalität
der
komplexen Exponentiellen.
2
S
N
1
j
n
1 r
kmN
1
-
¯
¦
N
und
k
,
m
ganze Zahlen
(3.22)
e
N
0
sonst
n
0
Verifizieren Sie die Gleichung mit der geometrischen Reihe.
#
