Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Bei der
Quantisierung
werden den Amplituden Werte aus einem diskreten Zeichenvorrat, den
Maschinenzahlen
, zugewiesen. Die Zuweisung wird durch die
Quantisierungskennlinie
defi-
niert. Das digitale Signal [
x
[
n
]]
Q
entsteht.
Technisch wird die Digitalisierung in
Analog-Digital-Umsetzern
(A/D-Umsetzer) realisiert
[TiSc99]. Dabei kommen meist integrierte mikroelektronische Bausteine zum Einsatz, die
gemäß den Anforderungen aus einem reichhaltigen Angebot gewählt werden können. Grund-
sätzlich wächst die Komplexität der A/D-Umsetzer mit der Höhe der Abtastrate und Genauig-
keit der Zahlendarstellung. Typische Bereiche für die Wortlängen sind 8 bis 16 (20) Bits und
Abtastfrequenzen bis 100 (1000) MHz.
16.3
Abtastung
16.3.1
Abtasttheorem
Eine sinnvolle zeitliche Diskretisierung liegt vor, wenn die Veränderungen des analogen Si-
gnals durch die Abtastfolge gut wiedergegeben werden. Damit das analoge Signal aus der
Abtastfolge durch eine Interpolation hinreichend genau wieder gewonnen werden kann, muss
ein sich schnell änderndes Signal häufiger als ein dazu relativ langsam veränderliches Signal
abgetastet werden. Diese grundsätzliche Überlegung wird im
Abtasttheorem
präzisiert.
Abtasttheorem
Eine Funktion
x
(
t
), deren Spektrum für |
f
| t
f
g
null ist, wird durch die
Abtastwerte
x
(
t
=
nT
s
) vollständig beschrieben, wenn das
Abtastintervall
T
s
, bzw. die
Abtastfrequenz
f
s
, so gewählt wird, dass
1
1
2
T
d
(16.1)
s
f
f
s
g
Die so abgetastete Funktion kann aus den Abtastwerten durch die si-
Interpolation
fehlerfrei rekonstruiert werden.
f
¦
>
@
x t
()
x nT
(
) si
f
S
t
nT
(16.2)
s
s
s
n
f
Anmerkung:
Beachten Sie die hier gewählte Formulierung des Abtasttheorems. Bei der Grenzfrequenz
f
g
ist das Spektrum des analogen Signals bereits zu null angenommen. Bei der Abtastung einer Sinus- oder
Kosinusfolge mit der Frequenz
f
g
/ 2, also 2 Abtastwerte pro Periode, ist die Amplitudeninformation
unbestimmt; im Extremfall kann auch in den Nulldurchgängen abgetastet werden.
Die zur Interpolation verwendeten si-Impulse entsprechen im Frequenzbereich einem idealen
Tiefpass mit der Grenzfrequenz
f
g
. Eine Interpolation mit einem idealen Tiefpass liefert das
ursprüngliche zeitkontinuierliche Signal. Die praktische Anwendung der si-Interpolation ge-
schieht näherungsweise in
Digital-Analog-Umsetzern
: Ein Abtast-Halteglieder erzeugt zu-
nächst ein treppenförmiges analoges Signal, das anschließend durch einen Tiefpass geglättet
wird [Wer08b].
Die Auswirkung der Abtastung auf die Spektren der Signale wurde in Versuch Kurzzeit-
Spektralanalyse: Grundlagen vorgestellt. Wird das Abtasttheorem verletzt, kommt es zur Über-
faltungen des periodisch fortgesetzten Spektrums, dem
Aliasing
.
