Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Die bilineare Transformation
1
1
1
D
D
s
1
1
1
z
s
und
z
für D
\
(12.12)
1
D
s
z
bildet die linke
s
-Halbebene in das Innere des Einheitskreises der
z
-Ebene ab. Die imaginäre
Achse der
s
-Ebene wird dabei dem Einheitskreis der
z
-Ebene zugeordnet. Ein stabiles System
im
s
-Bereich geht in ein stabiles System im
z
-Bereich über. Die grundsätzlichen Eigenschaften
des Frequenzganges bleiben dabei erhalten.
Im(
s
)
Im(
z
)
s
z
bilineare
Re(
s
)
Re(
z
)
Transformation
Konvergenz-
gebiet
Konvergenz-
gebiet
Bild 12-7
Bilineare Transformation der
s
-Ebene in die
z
-Ebene und umgekehrt
Der Zusammenhang zwischen den Frequenzvariablen erschließt sich durch Einsetzen von
s
=
j
Z bzw.
z
=
e
j
:
in (12.12). Man erhält nach kurzer Zwischenrechnung
1
:
Z
tan
und
für D
\
:
2arctan DZ
(12.13)
D
2
Es ist offensichtlich, dass die Abbildung der sich von f bis +f erstreckenden imaginären
Achse der
s
-Ebene auf den Einheitskreis der
z
-Ebene nicht linear geschehen kann. Bei der Ab-
bildung von der
s
-Ebene in die
z
-Ebene ergibt sich im Frequenzgang die so genannte Arcustan-
gens-Verzerrung [Wer08b]. Sie muss beim Filterentwurf berücksichtigt werden, was beispiels-
weise bereits bei der Vorgabe des Toleranzschemas geschehen kann.
12.3.6
Frequenz-Transformation
Eine Erweiterung der Idee der bilinearen Transformation führt auf die
Frequenz-Transforma-
tion
von Tiefpässen in Tiefpässe, Bandpässe, Hochpässe und Bandsperren. Diese Transfor-
mationen gehören ebenfalls zu den Standardmethoden für den Entwurf digitaler Filter und wer-
den in MATLAB implizit verwendet.
Es wird von einem Tiefpass als Prototyp mit der Übertragungsfunktion
H
(]) und normierter
Eckkreisfrequenz :
c
,]
ausgegangen. Letztere kann beispielsweise die 3dB-Grenzkreisfrequenz
sein.
Für das Wunschsystem eines Tiefpasses (TP) oder Hochpasses (HP) mit der normierten Eck-
kreisfrequenz :
c
,
z
erhält man die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion
H
(
z
) durch die
Transformationen der Pole und Nullstellen des Prototyp-Tiefpasses in Tabelle 12-5.
Die rationalen Transformationsformeln entsprechen Übertragungsfunktionen von Allpässen 1.
Ordnung, weshalb auch von einer
Allpass-Transformation
gesprochen wird [Schü08].
