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12.3
Entwurf eines Butterworth-Tiefpasses
12.3.1
Toleranzschema und Filtertyp
Für das Entwurfsbeispiel wird das Toleranzschema in Bild 12-2 zugrunde gelegt und der Ein-
fachheit halber den Butterworth-Tiefpass als Filtertyp gewählt.
12.3.2
Zeitkontinuierlicher Butterworth-Tiefpass
Die
Leistungsübertragungsfunktion
des zeitkontinuierlichen
Butterworth-Tiefpasses
ist von der
Form
1
2
H
()
j
Z
(12.1)
BW
TP
2
N
1
ZZ
0
mit der Filterordnung
N
und der
3dB-Grenzkreisfrequenz
Z
0
.
H
(
j
Z
)
BW
TP
BW
0
20 log
dB
3 dB
(12.2)
10
max
H
(
j
Z
)
TP
Z
Da im Nenner (12.1) eine Potenzfunktion von Z
steht, spricht man von einem
Potenzfilter
. Wie
man sich durch Einsetzen von
s
=
j
Z
überzeugen kann, resultiert aus der Zerlegung
1
H
()
s
H
( )
s
(12.3)
BW
TP
BW
TP
2
N
1
sj
Z
0
wieder die Leistungsübertragungsfunktion (12.1).
Die Pole in (12.3) liegen gleichmäßig verteilt auf dem Mittelpunktskreis der
s
-Ebene mit
Radius Z
0
S
§
·
s
Z
exp
j
(2
l
N
1)
für
l
1, 2,
!
, 2
N
(12.4)
¨
¸
0
2
N
©
¹
Die Pole in der linken
s
-Halbebene werden kausale Pole genannt und die in der rechten
s
-Halb-
ebene antikausale Pole. Die Pole werden der Übertragungsfunktion
H
(
s
) so zugeordnet, dass
ein kausales und stabiles System resultiert, siehe Bild 12-3.
Damit ist der zeitkontinuierliche Butterworth-Tiefpass bis auf einen Skalierungsfaktor
b
0
be-
stimmt.
b
0
H
()
s
BW
TP
N
(12.5)
ss
f
k
k
1
