Digital Signal Processing Reference
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Der maximale Approximationsfehler, der durch den Abbruch der Fourier-Reihe entsteht,
kann besser kontrolliert werden. Die Methode ist als Fourier-Approximation mit Fensterung
bekannt und zählt zu den bewährten Filterentwurfsverfahren der digitalen Signalver-
arbeitung.
Die Idee der
Fensterung
erschließt sich aus der Betrachtung im Frequenzbereich. Die zeitliche
Begrenzung kann als Multiplikation der Impulsantwort mit einer Rechteckfolge entsprechender
Länge interpretiert werden. Die Multiplikation im Zeitbereich führt zur Faltung des Wunsch-
frequenzganges mit dem Spektrum der Fensterfolge. Durch die Wahl der Form der Fenster-
folge kann das gibbssche Phänomen reduziert werden. Stellt man sich die Fensterung als Multi-
plikation zuerst mit der Rechteckfolge und anschließend mit der „Form-Fensterfolge“ vor, ent-
spricht letzteres einer Faltung des Frequenzganges der Fourier-Approximation mit dem Spek-
trum der „Form-Fensterfolge“. Bei geeigneter Wahl des Fensters stellt sich eine glättende Wir-
kung im Spektrum ein. Es werden die unerwünschten Über- und Unterschwinger auf Kosten
einer zunehmenden Breite des Übergangsbereichs reduziert.
Beim Filterentwurf durch die Fourier-Approximation werden je nach Entwurfsaufgabe ver-
schiedene Fensterfolgen benutzt. Eine häufig verwendete Fensterfolge ist das
Kaiser-Fenster
-
§
·
2
2
I
E
1
n
(
N
2)
¨
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°
0
©
¹
°
für
nN
d
2
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[]
®
°
°
(11.7)
K
I
E
0
0
für
nN
!
2
¯
Das Kaiser-Fensters enthält die modifizierten Besselfunktion erster Art der Ordnung Null
I
0
mit dem
Formparameter
E. Letzterer eröffnet die Möglichkeit eine Anpassung an das
Toleranzschema vorzunehmen.
Die Wahl für E beruht auf empirischen Erfahrungen mit typisch Werten 4 d E d 9 [KaKr02].
Die im Folgenden vorgestellte Methode liefert zu einem Tiefpassentwurf mit vorgegebenem
Toleranzschema den Formparameter E und die Filterordnung
N
. Die Filterordnung wird erfah-
rungsgemäß auf r 2 richtig geschätzt [OSB99]. Die Methode wird als Arbeitsblatt präsentiert,
das Sie in der nachfolgenden Aufgabe ausfüllen sollen.
11.5.2
Vorbereitende Aufgaben
A11.7
Ein Tiefpass mit den Anforderungen aus A11.2 soll mit der Fourier-Approximation
mit Kaiser-Fenster entworfen werden. Bestimmen Sie anhand des Arbeitsblatts in
Tabelle 11-4 die nötige Filterordnung
N
und den zugehörigen Formparameter E.
11.5.3
Versuchsdurchführung
M11.3
Entwerfen Sie den Tiefpass nach Tabelle 11-4 mit der Fourier-Approximation mit
einem Kaiser-Fenster. Werden die Spezifikationen eingehalten? Diskutieren Sie das
Ergebnisse im Vergleich zur einfachen Fourier-Approximation in Abschnitt 11.4.3.
Hinweis:
MATLAB-Funktion
kaiser(N,BETA)
