Digital Signal Processing Reference
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Tabelle 11-3
Kenngrößen des Toleranzschemas für die Abtastfrequenz
f
s
= 20 kHz
Sperrfrequenz
4 kHz
Sperrkreisfrequenz
:
S
=
Durchlassfrequenz
3.4 kHz
Durchlasskreisfrequenz :
D
=
max. Betragsabweichung
im Durchlassbereich
r 5%
Durchlasstoleranz
G
D
=
minimale Sperrdämpfung
46.02 dB
Sperrtoleranz
G
S
=
11.4
Fourier-Approximation
11.4.1
Fourier-Reihe des Frequenzganges
Die
Fourier-Approximation
ist eine relativ einfache Möglichkeit, ein FIR-Filter direkt nach
Vorgaben im Frequenzbereich zu entwerfen. Sie fußt auf der Darstellung des Frequenzganges
durch eine Fourier-Reihe
f
j
:
¦
:
j
n
He
hn e
[]
(11.4)
n
f
mit den Koeffizienten der Impulsantwort als Fourier-Koeffizienten
S
1
j
::
j
n
³
hn
[]
H e
e
d
:
(11.5)
2
S
S
Die Fourier-Approximation ist optimal im Sinne des
mittleren Fehlerquadrats
. Für die Imple-
mentierung muss in der Regel die Fourier-Reihe abgebrochen werden, da die Länge der
Impulsantwort des FIR-Filters mit
N
+ 1 als endlich vorgegeben wird. Das FIR-Filter ist dann
bezogen auf die Filterordnung immer noch optimal, siehe auch parsevalsche Gleichung. Ein
Toleranzschema mit Sprungstellen, wie z. B. in Bild 11-2, führt jedoch bei endlicher Filterord-
nung zu Überschwingen vor und nach der Sprungstelle im realen Frequenzgang, entsprechend
dem bekannten
gibbsschen Phänom
der Fourier-Approximation. In Abschnitt 11.5 wird ge-
zeigt, wie dieses Problem entschärft werden kann.
11.4.2
Vorbereitende Aufgaben
A11.3
Wie lautet die Wunsch-Impulsantwort
h
w
[
n
] für den Wunsch-Frequenzgang eines
idealen Tiefpasses
-
1 r 0
0 r
d : :
°
®
j
W
He
:
0
(11.6)
::d
S
¯
0
h
W
[
n
] =
